Determine os valores de h e k para que o sistema tenha:
(i) uma única solução;
(ii) infinitas soluções;
(iii) nenhuma solução.
x+y+z & =3 h x+2 y+z & =6 3 x+k y+z & =9

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear paramétrico
x+y+z=3, h x+2y+z=6, 3x+k y+z=9,
e pede as condições sobre h e k para o sistema ter (i) solução única, (ii) infinitas soluções e (iii) nenhuma solução. Vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes e o critério de consistência (rank da matriz ampliada).

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A= 1 & 1 & 1 h & 2 & 1 3 & k & 1
e calculamos
det A =1,(2cdot1-1cdot k);-;1,(hcdot1-1cdot3);+;1,(hcdot k-2cdot3) =hk-h-k-1

Passo 3

Solução única ocorre exatamente quando
det Aneq0,
isto é,
hk-h-k-1neq0

Passo 4

Para det A=0 temos
hk-h-k-1=0
Nesse caso o sistema tem grau de liberdade 1. Podemos resolver as duas primeiras equações em função de x:
de x+y+z=3 vem z=3-x-y.
de h x+2y+z=6 usando z (h-1)x+y=3, ou y=3-(h-1)x.
Logo z=(h-2)x.
Substituindo em 3x+k y+z=9 obtemos
xl(h+1-k(h-1)r)+3k=9
Como det A=0 implica h+1-k(h-1)=0, a equação fica 3k=9, ou seja k=3. Então, para manter consistência, deve ainda valer k=3. Substituindo em det A=0 resulta h=2.

Passo 5

Resumindo:
  • Se det A=0 e (h,k)=(2,3), o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).
  • Se det A=0 e (h,k)neq(2,3), o sistema é incompatível (nenhuma solução).

Resposta

(i) Solução única se
hk-h-k-1neq0
(ii) Infinitas soluções se
h=2, k=3
(iii) Nenhuma solução se
hk-h-k-1=0 e (h,k)neq(2,3)

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