Nos sistemas abaixo, determine o valor de k para que o sistema tenha:
(i) uma única solução;
(ii) infinitas soluções;
(iii) nenhuma solução.
x+y+z & =4 2 x+k y+z & =7 3 x+2 y+z & =10

Passo 1

O sistema
x + y + z = 4, 2x + k,y + z = 7, 3x + 2y + z = 10
é um sistema linear 3times3. O conteúdo aqui é análise de existência e unicidade de solução em função do parâmetro k: vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e, no caso degenerado ( det=0), verificar consistência.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 & 1 2 & k & 1 3 & 2 & 1
e calculamos
det(A) =1cdotl(kcdot1 - 1cdot2r) -1cdotl(2cdot1 - 1cdot3r) +1cdotl(2cdot2 - kcdot3r) =3 - 2k

Passo 3

Se det(A)neq0, o sistema tem exatamente uma solução (teorema de Cramer). Logo
3 - 2k neq 0 Longrightarrow k neq tfrac32

Passo 4

No caso det(A)=0, isto é k=tfrac32, o sistema pode ter infinitas ou nenhuma solução. Substituindo k=tfrac32, as três equações são
x + y + z = 4, 2x + tfrac32 y + z = 7, 3x + 2y + z = 10
Fazendo
(eq2) - (eq1)
x + tfrac12 y = 3,
e
(eq3) - 2cdot(eq1)
x - z = 2
Resolvendo essas duas junto com a primeira, vemos que não há contradição: obtemos um parâmetro livre (por exemplo y).

Passo 5

Como não surge nenhuma equação contraditória, o sistema é consistente e, com det(A)=0, tem infinitas soluções quando
k = tfrac32

Passo 6

Não há nenhum valor de k que torne o sistema inconsistente, pois no caso degenerado ( k=tfrac32) as equações ainda são compatíveis.

Resposta

(i) k neq tfrac32.
(ii) k = tfrac32.
(iii) não existe valor de k que torne o sistema sem solução.

Exercícios relacionados