Determine os valores de a e b de modo que o sistema não admita solução
l x+2 y-3 z=a 2 x+6 y-11 z=b x-2 y+7 z=c
Res.: 5 a neq 2 b+c

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear em três incógnitas x,y,z e parâmetros a,b,c:
x+2y-3z=a, 2x+6y-11z=b, x-2y+7z=c
O conteúdo aqui é estudar as condições de existência de solução de um sistema linear usando determinante e eliminação de Gauss.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A= 1 & 2 & -3 2 & 6 & -11 1 & -2 & 7
Temos
det(A) = 1 & 2 & -3 2 & 6 & -11 1 & -2 & 7 =1,(6cdot7-(-11)cdot(-2))-2,(2cdot7-(-11)cdot1)-3,(2cdot(-2)-6cdot1) =20-50+30=0
Como det(A)=0, o sistema não tem solução única; resta verificar condição de consistência.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para checar existência de solução. Da primeira equação
(1) x + 2y - 3z = a,
subtraímos 2 times (1) da segunda e subtraímos (1) da terceira:

Passo 4

— Segunda menos 2:timesprimeira:
2x+6y-11z-2(x+2y-3z)=b-2a ;Longrightarrow; 2y-5z=b-2a
— Terceira menos primeira:
x-2y+7z-(x+2y-3z)=c-a ;Longrightarrow; -4y+10z=c-a
Observação: a segunda linha transformada multiplica-se por -2 para conferir compatibilidade:
-2,(2y-5z)=-4y+10z=-2(b-2a)=4a-2b

Passo 5

Para que as equações em y,z não sejam contraditórias é preciso
c-a=4a-2b ;Long<=ftrightarrow; c+2b-5a=0 ;Long<=ftrightarrow; 5a=2b+c
Se essa igualdade não vale, as duas retas em (y,z) serão paralelas e o sistema ficará sem solução.

Resposta

O sistema não admite solução sempre que
5aneq2b+c

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