No Exercício encontre todos os menores e cofatores da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar todos os menores e cofatores da matriz A . A matriz dada é:
A = 1 & -2 & 3 6 & 7 & -1 -3 & 1 & 4
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente como calcular menores e cofatores de uma matriz. Basicamente, um menor é o determinante de uma submatriz que sobra quando removemos a linha e a coluna de um elemento específico. O cofator é esse menor multiplicado por (-1)^i+j, onde i e j são os índices da linha e coluna do elemento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o menor de cada elemento. Vamos numerar as linhas e colunas da matriz A da seguinte forma:
Vamos calcular o menor para cada elemento. Lembrando que o menor de aij é o determinante da matriz que sobra removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Menor de a11 :
Removendo a primeira linha e a primeira coluna:
7 & -1 1 & 4
Determinante: (7)(4) - (-1)(1) = 28 + 1 = 29
Menor de a12 :
Removendo a primeira linha e a segunda coluna:
6 & -1 -3 & 4
Determinante: (6)(4) - (-1)(-3) = 24 - 3 = 21
Menor de a13 :
Removendo a primeira linha e a terceira coluna:
6 & 7 -3 & 1
Determinante: (6)(1) - (7)(-3) = 6 + 21 = 27
Menor de a21 :
Removendo a segunda linha e a primeira coluna:
-2 & 3 1 & 4
Determinante: (-2)(4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11
Menor de a22 :
Removendo a segunda linha e a segunda coluna:
1 & 3 -3 & 4
Determinante: (1)(4) - (3)(-3) = 4 + 9 = 13
Menor de a23 :
Removendo a segunda linha e a terceira coluna:
1 & -2 -3 & 1
Determinante: (1)(1) - (-2)(-3) = 1 - 6 = -5
Menor de a31 :
Removendo a terceira linha e a primeira coluna:
-2 & 3 7 & -1
Determinante: (-2)(-1) - (3)(7) = 2 - 21 = -19
Menor de a32 :
Removendo a terceira linha e a segunda coluna:
1 & 3 6 & -1
Determinante: (1)(-1) - (3)(6) = -1 - 18 = -19
Menor de a33 :
Removendo a terceira linha e a terceira coluna:
1 & -2 6 & 7
Determinante: (1)(7) - (-2)(6) = 7 + 12 = 19
Passo 4
Agora que temos todos os menores, vamos calcular os cofatores. A fórmula para o cofator de aij é:
Cij = (-1)^i+j times menor de aij
Vamos aplicar isso para cada elemento:
Cofator de a11 :
C11 = (-1)^1+1 times 29 = 1 times 29 = 29
Cofator de a12 :
C12 = (-1)^1+2 times 21 = -1 times 21 = -21
Cofator de a13 :
C13 = (-1)^1+3 times 27 = 1 times 27 = 27
Cofator de a21 :
C21 = (-1)^2+1 times (-11) = -1 times (-11) = 11
Cofator de a22 :
C22 = (-1)^2+2 times 13 = 1 times 13 = 13
Cofator de a23 :
C23 = (-1)^2+3 times (-5) = -1 times (-5) = 5
Cofator de a31 :
C31 = (-1)^3+1 times (-19) = 1 times (-19) = -19
Cofator de a32 :
C32 = (-1)^3+2 times (-19) = -1 times (-19) = 19
Cofator de a33 :
C33 = (-1)^3+3 times 19 = 1 times 19 = 19
Resposta
Os menores e cofatores da matriz A são:
ccc Menor de a11 = 29 & Menor de a12 = 21 & Menor de a13 = 27 Menor de a21 = -11 & Menor de a22 = 13 & Menor de a23 = -5 Menor de a31 = -19 & Menor de a32 = -19 & Menor de a33 = 19
ccc Cofator de a11 = 29 & Cofator de a12 = -21 & Cofator de a13 = 27 Cofator de a21 = 11 & Cofator de a22 = 13 & Cofator de a23 = 5 Cofator de a31 = -19 & Cofator de a32 = 19 & Cofator de a33 = 19