Determine para quais valores de m in R o paralelepípedo P de vértices A=(1,1,1), B=(2,3,4), C=(5,2,1) e D=(1,2, m) tenha volume igual a 14 .

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de minR tais que o volume do paralelepípedo P determinado pelos vértices
A=(1,1,1), B=(2,3,4), C=(5,2,1), D=(1,2,m)
seja 14.
Conteúdo: geometria no R^3 e cálculo de volume via produto escalar triplo.

Passo 2

Tomamos A como origem para o paralelepípedo e formamos os vetores de aresta:
AB=B-A=(2-1,;3-1,;4-1)=(1,2,3),
AC=C-A=(5-1,;2-1,;1-1)=(4,1,0),
AD=D-A=(1-1,;2-1,;m-1)=(0,1,m-1)

Passo 3

A fórmula do volume é o valor absoluto do produto escalar triplo:
Vol(P) =l|ABcdotl(ACtimesADr)r|

Passo 4

Calculamos o produto vetorial ACtimesAD:
ACtimesAD = (1cdot(m-1)-0cdot1,;-(4cdot(m-1)-0cdot0),;4cdot1-1cdot0) = (m-1,,-4(m-1),,4)

Passo 5

Agora o produto escalar:
ABcdotl(ACtimesADr) =(1,2,3)cdotl(m-1,,-4(m-1),,4r) =(m-1)-8(m-1)+12 =-7m+19
Logo
Vol(P)=l|-7m+19r|

Passo 6

Impondo l|-7m+19r|=14, temos dois casos:
-7m+19=14Longrightarrow m=57,
-7m+19=-14Longrightarrow m=337

Resposta

m=dfrac57 ou m=dfrac337.

Exercícios relacionados