Mostre, para quaisquer vecu, vecv, vecw e vecz vetores do espaço, que:
(u times v) times w=(u cdot w) v-(u cdot v) w

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma identidade de produto vetorial triplo. Porém, a forma dada
(vec utimesvec v)timesvec w=(vec ucdotvec w),vec v-(vec ucdotvec v),vec w
está incorreta. A identidade certa é
(vec utimesvec v)timesvec w =vec v,(vec ucdotvec w);-;vec u,(vec vcdotvec w)
Para provar isso de modo geral, vamos usar componentes e o símbolo de Levi–Civita junto com o delta de Kronecker.

Passo 2

Em componentes, definimos
(vec atimesvec b)i=varepsiloni j k,aj,bk
Logo, para (vec utimesvec v)timesvec w temos
l((vec utimesvec v)timesvec wr)i =varepsiloniell m,(vec utimesvec v)ell,wm =varepsiloniell m,l(varepsilonell j k,uj,vkr),wm =varepsiloniell m,varepsilonell j k,uj,vk,wm

Passo 3

Usamos a identidade de contração de dois símbolos de Levi–Civita (soma em ell):
varepsiloniell m,varepsilonell j k =de<ai k,de<am j;-;de<ai j,de<am k
Substituindo em cima, obtém-se
l((vec utimesvec v)timesvec wr)i &=l(de<aik,de<amj-de<aij,de<amkr),uj,vk,wm &=vi,(uj,wj);-;ui,(vk,wk) &=vi,(vec ucdotvec w);-;ui,(vec vcdotvec w)
Em notação vetorial:
(vec utimesvec v)timesvec w =vec v,(vec ucdotvec w);-;vec u,(vec vcdotvec w)

Resposta

A identidade correta é
(vec utimesvec v)timesvec w =vec v,(vec ucdotvec w);-;vec u,(vec vcdotvec w)
Note que a forma do enunciado devia trocar o segundo produto escalar de vec ucdotvec v para vec vcdotvec w.

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