Mostre, para quaisquer vecu, vecv, vecw e vecz vetores do espaço, que:
((u times v) times w) cdot z=(u times v) cdot(w times z)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer vetores u,v,w,z em R^3,
l((utimesv)timeswr)cdotz = (utimesv)cdot(wtimesz)
O conteúdo envolvido é o produto vetorial e o produto escalar, além das identidades de produto vetorial triplo e de Lagrange.

Passo 2

Lembramos a identidade do produto vetorial triplo (também chamada de fórmula de Lagrange para (AtimesB)timesC):
(AtimesB)timesC =B,(AcdotC)-A,(BcdotC)

Passo 3

Aplicando essa identidade a A=u e B=v, C=w, obtemos
(utimesv)timesw =v,(ucdotw)-u,(vcdotw)

Passo 4

Fazendo o produto escalar dessa expressão com z, obtemos
l((utimesv)timeswr)cdotz =l[v,(ucdotw)-u,(vcdotw)r]cdotz =(vcdotz)(ucdotw)-(ucdotz)(vcdotw)

Passo 5

Por outro lado, a identidade de Lagrange para o produto escalar de dois vetoriais cruzados diz que
(utimesv)cdot(wtimesz) =(ucdotw)(vcdotz)-(ucdotz)(vcdotw)

Passo 6

Comparando os resultados de

Passo 7

(ucdotw)(vcdotz)-(ucdotz)(vcdotw),
logo
l((utimesv)timeswr)cdotz =(utimesv)cdot(wtimesz)

Resposta

A igualdade está demonstrada.

Exercícios relacionados