Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de
(com justificativa de cada resposta):
todos os vetores da forma
.
todos os vetores da forma
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
do espaço . Para verificar se
é subespaço vetorial, precisamos checar três condições fundamentais:
do espaço
-
. - Fechamento em soma: se
, então . - Fechamento em multiplicação escalar: se
e , então .
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero. O vetor zero de
é
.
Qualquer vetor em tem segunda componente igual a
. Logo não existe escolha de
tal que
Qualquer vetor em
Portanto
.
Passo 3
Como a condição
falha,
já não pode ser subespaço vetorial. (Em particular, isso também implica falta de fechamento sob multiplicação escalar, pois para
temos
e a segunda componente
não será igual a
, portanto
.)
Resposta
O conjunto
não é subespaço de
, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação escalar.