Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de R^3 (com justificativa de cada resposta):
todos os vetores da forma ( a ; 1 ; 0).

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = (a,1,0)mid ainR
do espaço R^3. Para verificar se S é subespaço vetorial, precisamos checar três condições fundamentais:
  1. 0in S.
  2. Fechamento em soma: se u,vin S, então u+vin S.
  3. Fechamento em multiplicação escalar: se uin S e cinR, então c,uin S.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero. O vetor zero de R^3 é
0 = (0,0,0).
Qualquer vetor em S tem segunda componente igual a 1. Logo não existe escolha de a tal que
(a,1,0) = (0,0,0)
Portanto 0notin S.

Passo 3

Como a condição 0in S falha, S já não pode ser subespaço vetorial. (Em particular, isso também implica falta de fechamento sob multiplicação escalar, pois para cneq1 temos
c,(a,1,0) = (ca,,c,,0),
e a segunda componente c não será igual a 1, portanto c,(a,1,0)notin S.)

Resposta

O conjunto S=(a,1,0)mid ainR não é subespaço de R^3, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação escalar.

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