Verifique se o conjunto de funções B é linearmente dependente ou independente em C(R) nos seguintes casos:
(iii) B=e^t, t e^t, e^2 t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = e^t,;t e^t,;e^2t
é linearmente dependente ou independente em C(R). Vamos usar a definição: B é independente se a única solução da combinação
c1e^t + c2 t e^t + c3 e^2t = 0forall tinR
for c1=c2=c3=0.

Passo 2

Escrevendo a condição de combinação linear nula, temos
c1e^t + c2 t e^t + c3 e^2t = 0
Podemos agrupar os dois primeiros termos em fator comum e^t:
e^tl(c1 + c2tr) + c3e^2t = 0
Reescrevendo, fica
e^tl(c1 + c2t + c3e^tr) = 0 Longrightarrow c1 + c2t + c3e^t = 0 forall tinR

Passo 3

O termo c1 + c2t é um polinômio de grau <=1 e c3e^t é uma função exponencial. A soma de um polinômio de grau <=1 com um múltiplo de e^t só pode ser identicamente zero se cada parte for nula isoladamente. Assim:
  1. Para anular o termo exponencial, deve ser c3=0.
  2. Então sobra c1 + c2t = 0 para todo t, o que obriga c2=0 e em seguida c1=0.

Passo 4

Encontramos que a única solução é
c1=c2=c3=0
Isso mostra que não há combinação linear não trivial que dê a função zero.

Resposta

O conjunto B=e^t,,t e^t,,e^2t é linearmente independente em C(R).

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