Verifique se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente em
nos seguintes casos:
(iii)
,
(iii)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é linearmente dependente ou independente em . Vamos usar a definição:
é independente se a única solução da combinação
é linearmente dependente ou independente em
for
.
Passo 2
Escrevendo a condição de combinação linear nula, temos
Podemos agrupar os dois primeiros termos em fator comum
:
Reescrevendo, fica
Passo 3
O termo
é um polinômio de grau
e
é uma função exponencial. A soma de um polinômio de grau
com um múltiplo de
só pode ser identicamente zero se cada parte for nula isoladamente. Assim:
- Para anular o termo exponencial, deve ser
. - Então sobra
para todo , o que obriga e em seguida .
Passo 4
Encontramos que a única solução é
Isso mostra que não há combinação linear não trivial que dê a função zero.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.