Seja D: P3(R) P3(R) o operador derivação dado por D(f)=d fd x. Encontre o polinômio minimal de D.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Dcolon P3(R)to P3(R), D(f)=dfdx
e pede o polinômio minimal de D. Para isso, lembramos que o polinômio minimal de um operador linear é o menor polinômio monico m(t) tal que m(D)=0. Aqui veremos que D é nilpotente e acharemos seu índice de nilpotência.

Passo 2

Escolhemos a base canônica 1,x,x^2,x^3 e calculamos
D(1)=0, D(x)=1, D(x^2)=2x, D(x^3)=3x^2
Aplicando iteradamente, vemos que
D^2(x^2)=D(2x)=2, D^3(x^3)=D^2(3x^2)=D(6x)=6, D^4(x^3)=D(6)=0
Como D^4 anula todos os vetores da base, temos D^4=0, mas D^3neq0.

Passo 3

O menor expoente k tal que D^k=0 é k=4. Logo o operador D é nilpotente de índice 4, e o polinômio minimal é
m(t)=t^4

Resposta

mD(t)=t^4

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