Seja
o operador derivação dado por
. Encontre o polinômio minimal de
.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede o polinômio minimal de
. Para isso, lembramos que o polinômio minimal de um operador linear é o menor polinômio monico
tal que
. Aqui veremos que
é nilpotente e acharemos seu índice de nilpotência.
Passo 2
Escolhemos a base canônica
e calculamos
Aplicando iteradamente, vemos que
Como
anula todos os vetores da base, temos
, mas
.
Passo 3
O menor expoente
tal que
é
. Logo o operador
é nilpotente de índice 4, e o polinômio minimal é