Quando o polinômio x^{2}+x-a tem raízes iguais?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quando o polinômio \;x^{2}+x-a\; tem raízes iguais?”\n
Informações dadas:
  1. O polinômio é \;x^{2}+x-a\;.
  2. A incógnita do polinômio é x e a é um parâmetro (um número que podemos escolher).
  3. A pergunta pede o(s) valor(es) de a para os quais as duas raízes do polinômio coincidem (são iguais).

Passo 2

Conceito útil: para um polinômio quadrático geral \;Ax^{2}+Bx+C\;, as raízes são dadas pela fórmula quadrática
x=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A},
onde \Delta é o discriminante e vale
\Delta = B^{2}-4AC.
Explicação simples: o \pm\sqrt{\Delta} determina se as duas raízes são diferentes ( \Delta>0), iguais ( \Delta=0) ou complexas conjugadas ( \Delta<0). Para termos duas raízes reais iguais (raízes repetidas), precisamos exatamente de \Delta=0.

Passo 3

Identificamos os coeficientes do polinômio dado comparando com \;Ax^{2}+Bx+C\;:
A=1,\qquad B=1,\qquad C=-a.
Agora calculamos o discriminante \Delta usando \Delta=B^{2}-4AC:
\Delta = 1^{2}-4\cdot 1\cdot(-a).

Passo 4

Continuando o cálculo do discriminante:
\Delta = 1 - 4\cdot(-a) = 1 + 4a.
Para que as raízes sejam iguais devemos ter \Delta=0. Então resolvemos
1+4a=0.
Isolando a:
4a=-1 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{1}{4}.

Passo 5

Vamos checar e interpretar o resultado (ótimo hábito para prova). Se a=-\tfrac{1}{4}, o polinômio fica
x^{2}+x-\left(-\tfrac{1}{4}\right)=x^{2}+x+\tfrac{1}{4}.
Note que isso é um quadrado perfeito:
x^{2}+x+\tfrac{1}{4}=\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2}.
Logo, as duas raízes coincidem e valem x=-\tfrac{1}{2}. Isso confirma que \Delta=0 realmente produz uma raiz dupla.

Passo 6

Resumo prático para a prova: do método do discriminante você já lembra que basta calcular \Delta e igualar a zero. Alternativa rápida que dá o mesmo resultado é completar o quadrado em \;x^{2}+x-a\; e pedir que o termo independente torne a expressão um quadrado perfeito — isso leva ao mesmo a=-\tfrac{1}{4}. Força aí — você já tá com o procedimento na mão!

Resposta

a=-\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados