Quando o polinômio
tem raízes iguais?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quando o polinômio
tem raízes iguais?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- O polinômio é
. - A incógnita do polinômio é
e é um parâmetro (um número que podemos escolher). - A pergunta pede o(s) valor(es) de
para os quais as duas raízes do polinômio coincidem (são iguais).
Passo 2
Conceito útil: para um polinômio quadrático geral
, as raízes são dadas pela fórmula quadrática
onde
é o discriminante e vale
Explicação simples: o
determina se as duas raízes são diferentes (
), iguais (
) ou complexas conjugadas (
). Para termos duas raízes reais iguais (raízes repetidas), precisamos exatamente de
.
Passo 3
Identificamos os coeficientes do polinômio dado comparando com
:
Agora calculamos o discriminante
usando
:
Passo 4
Continuando o cálculo do discriminante:
Para que as raízes sejam iguais devemos ter
. Então resolvemos
Isolando
:
Passo 5
Vamos checar e interpretar o resultado (ótimo hábito para prova). Se
, o polinômio fica
Note que isso é um quadrado perfeito:
Logo, as duas raízes coincidem e valem
. Isso confirma que
realmente produz uma raiz dupla.
Passo 6
Resumo prático para a prova: do método do discriminante você já lembra que basta calcular
e igualar a zero. Alternativa rápida que dá o mesmo resultado é completar o quadrado em
e pedir que o termo independente torne a expressão um quadrado perfeito — isso leva ao mesmo
. Força aí — você já tá com o procedimento na mão!