Determine os valores reais de e para que o sistema linear
tenha:
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear em
com parâmetros reais (a,b]. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: vamos usar determinante da matriz dos coeficientes (Regra de Cramer) para identificar existência e unicidade de solução, e em seguida tratar o caso singular examinando consistência.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante D.
D=det 1 & 1 & -2 2 & 1 & 1 1 & a & 1
Expandindo por cofactores, obtemos
D = 1cdot(1cdot1-1cdot a);-;1cdot(2cdot1-1cdot1);+;(-2)cdot(2cdot a-1cdot1) =1-a-1-4a+2=2-5a
Passo 3
Pela Regra de Cramer, se Dneq0 o sistema tem uma única solução. Assim
2-5aneq0 Long<=ftrightarrow aneq25
Passo 4
No caso a=tfrac25 temos D=0 e a matriz é singular. Para decidir entre infinitas ou nenhuma solução, reduzimos o sistema. Com a=tfrac25, da primeira equação x=-y+2z. Substituindo na terceira: