Determine os valores reais de a e b para que o sistema linear
r x+y-2 z=0 2 x+y+z=b x+a y+z=0
tenha:
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução:

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em
com parâmetros reais (a,b]. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: vamos usar determinante da matriz dos coeficientes (Regra de Cramer) para identificar existência e unicidade de solução, e em seguida tratar o caso singular examinando consistência.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante D.
D=det 1 & 1 & -2 2 & 1 & 1 1 & a & 1
Expandindo por cofactores, obtemos
D = 1cdot(1cdot1-1cdot a);-;1cdot(2cdot1-1cdot1);+;(-2)cdot(2cdot a-1cdot1) =1-a-1-4a+2=2-5a

Passo 3

Pela Regra de Cramer, se Dneq0 o sistema tem uma única solução. Assim
2-5aneq0 Long<=ftrightarrow aneq25

Passo 4

No caso a=tfrac25 temos D=0 e a matriz é singular. Para decidir entre infinitas ou nenhuma solução, reduzimos o sistema. Com a=tfrac25, da primeira equação x=-y+2z. Substituindo na terceira:
(-y+2z)+tfrac25y+z=0 ;Longrightarrow; -55y+25y+3z=0 ;Longrightarrow; -3y+15z=0 ;Longrightarrow; y=5z,
logo x=-3z. Na segunda equação:
2x+y+z = 2(-3z)+5z+z =0cdot z =0,
logo a segunda só é satisfeita se b=0.

Resposta

a) Uma única solução: aneq25 (para todo b).
b) Infinitas soluções: a=25 e b=0.
c) Nenhuma solução: a=25 e bneq0.

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