Determine os valores de m para os quais a reta
y=52 x+m
é tangente a hipérbole
x^29-y^236=1
[Dica: Use derivadas. ]

Passo 1

O enunciado pede os valores de m para os quais a reta
y = 52x + m
é tangente à hipérbole
x^29 ;-;y^236 ;=;1
O conteúdo envolvido é o de tangentes a curvas definidas implicitamente e o uso de derivada para obter o coeficiente angular da tangente em um ponto da hipérbole.

Passo 2

Vamos achar a derivada implícita de
x^29 ;-;y^236 ;=;1
Diferenciando em relação a x, temos
2x9;-;2y36,y'=0
Isolando y', multiplicamos por 36:
8x-2y,y'=0 Longrightarrow 2y,y'=8x Longrightarrow y'=4xy

Passo 3

Num ponto de tangência (x,y) a reta tangente à hipérbole tem coeficiente angular y'=tfrac4xy. Como queremos que essa reta seja justamente y=tfrac52x+m, o coeficiente angular deve coincidir:
4xy=52
Desse modo
y=85,x

Passo 4

Ainda em (x,y) de tangência, vale simultaneamente
y=52x+m e y=85x
Igualando as duas expressões para y,
52x+m ;=;85x Longrightarrow m=85x-52x =l(1610-2510r)x =-910,x

Passo 5

Para encontrar x, usamos a condição de que (x,y) pertence à hipérbole. Substituindo y=tfrac85x em
x^29-y^236=1,
obtemos
x^29-l(tfrac85xr)^236=1 Longrightarrow x^29-64,x^225cdot36=1
Como tfrac19=tfrac100900 e tfrac6425cdot36=tfrac64900,
x^2l(tfrac100900-tfrac64900r)=1 Longrightarrow x^2,36900=1 Longrightarrow x^2=25 Longrightarrow x=pm5

Passo 6

Para cada x achado, determinamos m=-tfrac910x:
x=5;Longrightarrow;m=-dfrac910cdot5=-dfrac92,[6pt] x=-5;Longrightarrow;m=-dfrac910cdot(-5)=dfrac92 ]

Resposta

Os valores de m são
m=-92 e m=92

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