Um partícula se move de modo que no instante t seu vetor posição é
O P(t)=(t, 4 t-t^2)
Determine
uma equação cartesiana da trajetória da particula;

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição da partícula em função de t:
OP(t) = l(t,;4t - t^2r)
Isso significa que a partícula segue uma curva no plano cujas coordenadas paramétricas são
x(t) = t, y(t) = 4t - t^2
O objetivo é eliminar o parâmetro t e obter uma única equação cartesiana da trajetória.

Passo 2

Da primeira componente temos diretamente
x(t) = t
Como x e t são iguais, podemos resolver para o parâmetro:
t = x

Passo 3

Agora que sabemos t = x, basta substituir esse valor na expressão de y(t). A segunda componente era
y(t) = 4t - t^2
Substituindo t = x obtemos:

Passo 4

y = 4x - x^2

Resposta

A equação cartesiana da trajetória da partícula é
y = 4x - x^2

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