Escrever uma equação da elipse cujos focos são F1(-2,1) e F2(2,3) e o eixo menor mede 4 .

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujos focos são
F1(-2,1), F2(2,3)
e cujo eixo menor tem comprimento 2b=4.
Aqui vamos usar a definição de elipse como o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que a soma das distâncias a F1 e F2 é constante, igual a 2a. Também usaremos a relação clássica
c^2 = a^2 - b^2,
onde c é a distância do centro aos focos e b é o semi-eixo menor.

Passo 2

Encontrar o centro da elipse C, que é o ponto médio de F1F2.
As coordenadas de C são
l(-2+22,,1+32r) = (0,2)

Passo 3

Calcular c, a distância do centro C(0,2) a um dos focos (todos têm mesma distância). Por exemplo, a F1(-2,1):
c = raiz(-2-0)^2 + (1-2)^2 = raiz4 + 1 = raiz5

Passo 4

O enunciado dá o eixo menor de comprimento 2b=4, logo
b = 2

Passo 5

Usar a relação entre semi-eixos em elipse:
a^2 = b^2 + c^2 = 2^2 + (raiz5)^2 = 4 + 5 = 9,
portanto a = 3. A soma das distâncias aos focos é 2a=6.

Passo 6

Escrever a equação pela definição de soma de distâncias:
raiz(x+2)^2 + (y-1)^2 ;+; raiz(x-2)^2 + (y-3)^2 ;=; 6

Resposta

raiz(x+2)^2 + (y-1)^2 ;+; raiz(x-2)^2 + (y-3)^2 = 6

Exercícios relacionados