Esboce e determine os elementos principais (focos, vértices, assíntotas, diretriz) das curvas cujas equações são
x^2-y^2+4=0;

Passo 1

O enunciado pede o esboço e os elementos principais (vértices, focos, assíntotas e diretrizes) da curva dada pela equação
x^2-y^2+4=0
O conteúdo aqui é seções cônicas, em particular hiperbolas, e para resolver precisamos pôr a equação na forma canônica
y^2a^2-x^2b^2=1
e daí extrair a, b e a excentricidade e.

Passo 2

Começamos reescrevendo a equação original:
x^2-y^2+4=0 Longrightarrow y^2-x^2=4 Longrightarrow y^24-x^24=1
Comparando com tfracy^2a^2-tfracx^2b^2=1, obtemos
a^2=4, b^2=4 Longrightarrow a=2,;b=2
O parâmetro c dos focos satisfaz
c^2=a^2+b^2=4+4=8 Longrightarrow c=2raiz2
e a excentricidade é
e=ca=2raiz22=raiz2

Passo 3

Os vértices de uma hiperbola do tipo tfracy^2a^2-tfracx^2b^2=1 ficam em (0,pm a). Aqui,
(0,2)e(0,-2)

Passo 4

Os focos estão em (0,pm c). Como c=2raiz2, os focos são
l(0,2raiz2r) e l(0,-2raiz2r)

Passo 5

As assíntotas desta hiperbola passam pela origem com inclinação pm tfracab. Como a=b, temos inclinação pm1, logo as retas
y = x e y = -,x

Passo 6

As diretrizes de uma hiperbola vertical são retas paralelas ao eixo x dadas por y=pm tfracae. Aqui
ae=2raiz2=raiz2,
logo as diretrizes são
y=raiz2 e y=-raiz2

Passo 7

No esboço, desenhe os eixos coordenados, as assíntotas y=pm x, depois marque os vértices em (0,pm 2), os focos em (0,pm 2raiz2) e as diretrizes em y=pm raiz2. A curva abre para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Vértices: (0,2), (0,-2)
Focos: (0,2raiz2), (0,-2raiz2)
Assíntotas: y=x, y=-x
Diretrizes: y=raiz2, y=-raiz2

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