Esboce e determine os elementos principais (focos, vértices, assíntotas, diretriz) das curvas cujas equações são
;
Passo 1
O enunciado pede o esboço e os elementos principais (vértices, focos, assíntotas e diretrizes) da curva dada pela equação
O conteúdo aqui é seções cônicas, em particular hiperbolas, e para resolver precisamos pôr a equação na forma canônica
e daí extrair
,
e a excentricidade
.
Passo 2
Começamos reescrevendo a equação original:
Comparando com
, obtemos
O parâmetro
dos focos satisfaz
e a excentricidade é
Passo 3
Os vértices de uma hiperbola do tipo
ficam em
. Aqui,
Passo 4
Os focos estão em
. Como
, os focos são
Passo 5
As assíntotas desta hiperbola passam pela origem com inclinação
. Como
, temos inclinação
, logo as retas
Passo 6
As diretrizes de uma hiperbola vertical são retas paralelas ao eixo
dadas por
. Aqui
logo as diretrizes são
Passo 7
No esboço, desenhe os eixos coordenados, as assíntotas
, depois marque os vértices em
, os focos em
e as diretrizes em
. A curva abre para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
Vértices:
,
Focos: ,
Assíntotas: ,
Diretrizes: ,
Focos:
Assíntotas:
Diretrizes: