Determine os valores de seja contínua em .

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= a x^2-b x-6, & x<2, dfracb x^2-4x-2, & x>=2,
e pede a e b de modo que f seja contínua em x=2. Para isso, precisamos garantir que o limite pela esquerda em 2 existe, que o limite pela direita em 2 existe (ou seja, que não haja divisão por zero não-removível) e que esses limites sejam iguais ao valor de f(2).

Passo 2

Para a parte da direita dfracb x^2-4x-2 ter limite finito em x=2, o numerador deve anular-se em x=2. Assim,
bcdot2^2-4 = 0 Longrightarrow 4b-4=0 Longrightarrow b=1

Passo 3

Substituindo b=1 na fração, para xne2 temos
x^2-4x-2 = (x-2)(x+2)x-2 = x+2
Logo o limite pela direita e o valor removido em x=2 são
limxto2^+f(x)=2+2=4 e f(2)=4

Passo 4

Agora calculemos o limite pela esquerda em x=2. Temos
limxto2^-f(x) = acdot2^2-bcdot2-6 = 4a-2b-6
Para continuidade, igualamos isso a 4:
4a-2b-6 = 4
Substituindo b=1 obtém-se
4a-2cdot1-6 = 4 Longrightarrow 4a-8=4 Longrightarrow 4a=12 Longrightarrow a=3

Resposta

a=3 e b=1.

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