Encontre um intervalo no qual a função f(x)=3^x-2-x^2 tenha uma raiz. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo no qual a função
f(x)=3^x-2-x^2
tenha ao menos uma raiz. O conteúdo necessário é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que garante existência de raiz quando a função é contínua e muda de sinal em um intervalo.

Passo 2

Observamos que 3^x-2 é contínua em R e x^2 também é contínua, logo
f(x)=3^x-2-x^2
é contínua em R, condição necessária para aplicar Bolzano.

Passo 3

Calculamos f em pontos convenientes, por exemplo x=0 e x=1:
f(0)=3^-2-0^2=19>0,
f(1)=3^-1-1^2=13-1=-23<0

Passo 4

Como f é contínua em [0,1] e
f(0)cdot f(1)=l(tfrac19r)timesl(-tfrac23r)<0,
pelo Teorema de Bolzano existe cin(0,1) tal que f(c)=0.

Resposta

A função f(x)=3^x-2-x^2 possui pelo menos uma raiz no intervalo (0,1).

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