Encontre a área da superfície y = 4x + z^2 que está entre os planos x=0, x=1, z=0 e z=1. Note que:
integral raiza^2+v^2 d v=v2 cdot raiza^2+v^2+a^22 ln (v+raiza^2+v^2)+c
Onde C é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área da superfície definida por y = 4x + z^2 que está entre os planos x=0 , x=1 , z=0 e z=1 . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de cálculo de área de superfícies usando integrais duplas. Basicamente, vamos integrar uma função que representa a área da superfície sobre a região delimitada pelos planos dados.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a área de uma superfície dada por y = f(x, z) . A fórmula para a área da superfície y = f(x, z) sobre uma região R no plano xz é:
A = integral duplaR raiz ( partial ypartial x )^2 + ( partial ypartial z )^2 + 1 , dx , dz
Mas, na prática, para a maioria das superfícies, a fórmula simplificada é:
A = integral duplaR raiz1 + ( partial ypartial x )^2 + ( partial ypartial z )^2 , dx , dz

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de y em relação a x e z :
partial ypartial x = partialpartial x (4x + z^2) = 4
partial ypartial z = partialpartial z (4x + z^2) = 2z

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
A = integral duplaR raiz1 + (4)^2 + (2z)^2 , dx , dz = integral duplaR raiz1 + 16 + 4z^2 , dx , dz
Simplificando dentro da raiz:
raiz17 + 4z^2
Então, a integral fica:
A = integral duplaR raiz17 + 4z^2 , dx , dz

Passo 5

Agora, vamos identificar os limites de integração. A região R está entre x=0 e x=1 , e entre z=0 e z=1 . Então, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
A = integralx=0^1 integralz=0^1 raiz17 + 4z^2 , dz , dx

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a z :
integral0^1 raiz17 + 4z^2 , dz
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar u = 2z , então du = 2dz ou dz = du2 . Quando z=0 , u=0 ; quando z=1 , u=2 .
Substituindo:
integral0^2 raiz17 + u^2 cdot du2 = 12 integral0^2 raiz17 + u^2 , du
Essa integral está na forma que foi dada no enunciado:
integral raiza^2 + v^2 , dv = v2 raiza^2 + v^2 + a^22 ln(v + raiza^2 + v^2) + C
Aqui, a^2 = 17 e v = u .

Passo 7

Aplicando a fórmula:
12 [ u2 raiz17 + u^2 + 172 ln(u + raiz17 + u^2) ] gr|0^2
Simplificando:
14 u raiz17 + u^2 + 174 ln(u + raiz17 + u^2) gr|0^2

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
Para u = 2 :
14 cdot 2 cdot raiz17 + 4 + 174 ln(2 + raiz21) = 12 raiz21 + 174 ln(2 + raiz21)
Para u = 0 :
14 cdot 0 cdot raiz17 + 0 + 174 ln(0 + raiz17) = 0 + 174 ln(raiz17) = 174 cdot 12 ln(17) = 178 ln(17)

Passo 9

Calculando a diferença:
( 12 raiz21 + 174 ln(2 + raiz21) ) - ( 178 ln(17) ) = 12 raiz21 + 174 ln(2 + raiz21) - 178 ln(17)

Passo 10

Agora, a integral interna resultou em:
12 raiz21 + 174 ln(2 + raiz21) - 178 ln(17)
Vamos substituir de volta na integral externa em relação a x :
A = integral0^1 [ 12 raiz21 + 174 ln(2 + raiz21) - 178 ln(17) ] dx
Como a expressão dentro da integral não depende de x , a integral é simplesmente a expressão multiplicada pelo intervalo de x , que vai de 0 a 1:
A = [ 12 raiz21 + 174 ln(2 + raiz21) - 178 ln(17) ] cdot (1 - 0)

Resposta

Portanto, a área da superfície é:
A = 12 raiz21 + 174 ln(2 + raiz21) - 178 ln(17)

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