Encontre a área da superfície que está entre os planos , , e . Note que:
Onde C é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área da superfície definida por que está entre os planos , , e . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de cálculo de área de superfícies usando integrais duplas. Basicamente, vamos integrar uma função que representa a área da superfície sobre a região delimitada pelos planos dados.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a área de uma superfície dada por . A fórmula para a área da superfície sobre uma região no plano é:
Mas, na prática, para a maioria das superfícies, a fórmula simplificada é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos identificar os limites de integração. A região está entre e , e entre e . Então, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então ou . Quando , ; quando , .
Substituindo:
Essa integral está na forma que foi dada no enunciado: