Sejam x e y variáveis reais entre as quais precisamos determinar uma relação na forma de uma função afim y=f(x)=a x+b. O objetivo, nesta questão, é apresentar um método para determinarmos os parâmetros a e b de modo que a função afim seja a de melhor fitting a um conjunto de m dados com valores das variáveis, ou seja, buscamos a e b de forma que o gráfico da função seja o que mais se aproxima, na direção vertical, dos m pontos
(x1, y1),(x2, y2), ldots,(xm, ym)
Prove que a projeção ortogonal do vetor v=(y1, ldots, ym) sobre o subespaço de R^m gerado por u=(1, ldots, 1), dada por
Pu v=lang<=v, urang<=lang<=u, urang<= u,
tem como coeficiente
lang<=v, urang<=lang<=u, urang<==y1+ldots+ymm=bary
a média aritmética dos dados yi.

Passo 1

Estamos em R^m com o produto interno canônico
lang<= v,urang<= = sumi=1^mvi,ui.
Definimos
v=(y1,dots,ym) e u=(1,dots,1),
e queremos calcular a projeção ortogonal de v no subespaço gerado por u, dada por
Puv = lang<=v,urang<=lang<=u,urang<=,u

Passo 2

Calculemos primeiro o numerador lang<=v,urang<=.
Pelo produto interno canônico,
lang<=v,urang<= = sumi=1^myicdot 1 = y1 + y2 + cdots + ym

Passo 3

Agora o denominador lang<=u,urang<=.
Como todos os componentes de u valem 1,
lang<=u,urang<= = sumi=1^m1cdot 1 = m

Passo 4

Substituindo em
Puv = lang<=v,urang<=lang<=u,urang<=,u,
vemos que o coeficiente de u é
lang<=v,urang<=lang<=u,urang<= = y1 + cdots + ymm,
que é exatamente a média aritmética bar y dos dados.

Resposta

O coeficiente da projeção é
lang<=v,urang<=lang<=u,urang<= = y1 + dots + ymm = bar y

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