Sejam
e
variáveis reais entre as quais precisamos determinar uma relação na forma de uma função afim
. O objetivo, nesta questão, é apresentar um método para determinarmos os parâmetros
e
de modo que a função afim seja a de melhor fitting a um conjunto de
dados com valores das variáveis, ou seja, buscamos
e
de forma que o gráfico da função seja o que mais se aproxima, na direção vertical, dos
pontos
Prove que a projeção ortogonal do vetor
sobre o subespaço de
gerado por
, dada por
tem como coeficiente
a média aritmética dos dados
.
Passo 1
Estamos em
com o produto interno canônico
.
Definimos
e
,
e queremos calcular a projeção ortogonal de no subespaço gerado por
, dada por
Definimos
e queremos calcular a projeção ortogonal de
Passo 2
Calculemos primeiro o numerador
.
Pelo produto interno canônico,
Pelo produto interno canônico,
Passo 3
Agora o denominador
.
Como todos os componentes de valem
,
Como todos os componentes de
Passo 4
Substituindo em
vemos que o coeficiente de
é
que é exatamente a média aritmética
dos dados.
Resposta
O coeficiente da projeção é