Determine os valores de a para os quais o sistema dado não possui solução, possui exatamente uma solução ou possui uma infinidade de soluções.
cx+2 y=1 2 x+(a^2-5) y=a-1

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x + 2y = 1, 2x + l(a^2-5r)y = a-1,
que é um sistema 2times2. Vamos usar determinantes (regra de Cramer) para classificar as soluções em função de a.

Passo 2

Calculemos o determinante principal D da matriz dos coeficientes:
D = 1 & 2 2 & a^2 - 5 = 1cdotl(a^2-5r) - 2cdot2 = a^2 -5 -4 = a^2 - 9 = (a-3)(a+3)

Passo 3

Se Dneq 0, isto é, aneq 3 e aneq -3, então o sistema tem exatamente uma solução (por regra de Cramer).

Passo 4

Se D=0, então a=3 ou a=-3. Precisamos avaliar consistência:
Para a=3 obtemos a equação
2x + (3^2-5)y = 3-1 Longrightarrow 2x+4y=2
Como a primeira equação multiplicada por 2 é justamente 2x+4y=2, as duas retas coincidem e há infinidade de soluções.
Para a=-3 obtemos
2x + ((-3)^2-5)y = -3-1 Longrightarrow 2x+4y=-4,
que é incompatível com 2x+4y=2 (primeira equação vezes 2). Logo, não há solução.

Resposta

Para a=-3 o sistema não possui solução.
Para a=3 o sistema possui infinitas soluções.
Para aneq pm3 o sistema possui exatamente uma solução.

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