Determine para quais valores de k o sistema
possível e indeterminado;
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
e pede para determinar para quais valores de
o sistema é “possível e indeterminado” (ou seja, possui infinitas soluções). As informações relevantes são as duas equações acima; não há mais dados.]
Passo 2
Vamos ver a ideia geral que precisamos usar (sem jargões complicados): um sistema linear 2×2 pode ter exatamente uma solução, nenhuma solução, ou infinitas soluções. A condição que decide isso é o determinante da matriz dos coeficientes. Se esse determinante for diferente de zero, o sistema tem solução única. Se for zero, então as duas equações são “paralelas” em sentido algébrico — aí pode ocorrer ou nenhuma solução (incompatível) ou infinitas soluções (as equações são múltiplos uma da outra). Para saber qual dos dois acontece quando o determinante é zero, comparamos as proporções dos coeficientes com a proporção dos termos independentes.
Passo 3
Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos o determinante. A matriz dos coeficientes é
e o determinante dessa matriz é (produto dos elementos da diagonal principal menos produto da outra diagonal)
Passo 4
Interpretação do determinante:
- Se
(ou seja, se , isto é ), então o sistema tem solução única (é possível e determinado). Portanto, nesses o sistema não é indeterminado. - Se
(ou seja, ), então precisamos verificar consistência: pode ser infinita de soluções ou pode ser incompatível.
Passo 5
Analise o caso
. Substituindo em
, obtemos a segunda equação
A primeira equação é
Observe que a segunda equação não é múltiplo da primeira com o mesmo termo independente: multiplicando a primeira por
obtemos
que tem termo independente
, diferente de
. Ou seja, as duas equações representariam a mesma reta se tivessem a mesma constante à direita, mas aqui têm constantes diferentes; portanto são retas paralelas distintas — o sistema é incompatível e não tem solução. Conclusão: para
o sistema não tem solução, logo também não é indeterminado.
Passo 6
Portanto, não existe nenhum valor de
que torne o sistema possível e indeterminado (infinitas soluções). Para resumir a situação global (útil para a prova): se
há solução única; se
não há solução.
Resposta
Nenhum valor de
(não existe
que torne o sistema possível e indeterminado).