Determine para quais valores de k o sistema
\left\{\begin{array}{l}x+2 y=3 \\\ 2 x+k y=2\end{array}\right. \text { é: }é
possível e indeterminado;

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+2y=3\\[4pt] 2x+ky=2 \end{cases}
e pede para determinar para quais valores de k o sistema é “possível e indeterminado” (ou seja, possui infinitas soluções). As informações relevantes são as duas equações acima; não há mais dados.]

Passo 2

Vamos ver a ideia geral que precisamos usar (sem jargões complicados): um sistema linear 2×2 pode ter exatamente uma solução, nenhuma solução, ou infinitas soluções. A condição que decide isso é o determinante da matriz dos coeficientes. Se esse determinante for diferente de zero, o sistema tem solução única. Se for zero, então as duas equações são “paralelas” em sentido algébrico — aí pode ocorrer ou nenhuma solução (incompatível) ou infinitas soluções (as equações são múltiplos uma da outra). Para saber qual dos dois acontece quando o determinante é zero, comparamos as proporções dos coeficientes com a proporção dos termos independentes.

Passo 3

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos o determinante. A matriz dos coeficientes é
\begin{pmatrix} 1 & 2\\[4pt] 2 & k \end{pmatrix}
e o determinante dessa matriz é (produto dos elementos da diagonal principal menos produto da outra diagonal)
\det = 1\cdot k - 2\cdot 2 = k-4.]

Passo 4

Interpretação do determinante:
  • Se \det\neq0 (ou seja, se k-4\neq0, isto é k\neq4), então o sistema tem solução única (é possível e determinado). Portanto, nesses k o sistema não é indeterminado.
  • Se \det=0 (ou seja, k=4), então precisamos verificar consistência: pode ser infinita de soluções ou pode ser incompatível.

Passo 5

Analise o caso k=4. Substituindo em \,2x+ky=2, obtemos a segunda equação
2x+4y=2.
A primeira equação é
x+2y=3.
Observe que a segunda equação não é múltiplo da primeira com o mesmo termo independente: multiplicando a primeira por 2 obtemos
2(x+2y)=2\cdot 3\quad\Rightarrow\quad 2x+4y=6,
que tem termo independente 6, diferente de 2. Ou seja, as duas equações representariam a mesma reta se tivessem a mesma constante à direita, mas aqui têm constantes diferentes; portanto são retas paralelas distintas — o sistema é incompatível e não tem solução. Conclusão: para k=4 o sistema não tem solução, logo também não é indeterminado.

Passo 6

Portanto, não existe nenhum valor de k que torne o sistema possível e indeterminado (infinitas soluções). Para resumir a situação global (útil para a prova): se k\neq4 há solução única; se k=4 não há solução.

Resposta

Nenhum valor de k (não existe k que torne o sistema possível e indeterminado).

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