Escalone, classifique e resolva os sistemas abaixo:
\left\{\begin{array}{l}x+3 y=1 \\\\ 5 x+y=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear seguinte e pede três coisas: escalonar, classificar e resolver.
\begin{cases} x+3y=1\\[4pt] 5x+y=2 \end{cases}
Informações relevantes: as incógnitas são x e y; temos duas equações lineares. As perguntas são:
  • Escalone o sistema (ou seja, transforme-o numa forma em escalão por eliminação).
  • Classifique o sistema (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível).
  • Resolva o sistema (encontre os valores de x e y).]

Passo 2

O que significa “escalonar” e quais operações podemos usar (aula rápida)?
Escalonar um sistema equivale a aplicar operações elementares nas equações para obter uma forma triangular (forma em escalão), onde cada equação nova tem menos incógnitas “efetivas” que a anterior. As operações elementares permitidas são:
  1. Trocar duas equações entre si.
  2. Multiplicar uma equação por um número não nulo.
  3. Somar a uma equação um múltiplo escalar de outra equação (por exemplo E_i \leftarrow E_i + kE_j).
    Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. A estratégia usual é escolher um pivô (um coeficiente não nulo) numa coluna e eliminar abaixo dele.

Passo 3

Escrevendo o sistema na forma de matriz aumentada (para aplicar operações com mais clareza):
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & 1\\[4pt] 5 & 1 & 2 \end{array}\right]
Aqui as colunas representam os coeficientes de x e y e a última coluna é o vetor dos termos constantes.]

Passo 4

Eliminação do coeficiente abaixo do pivô na primeira coluna.
O pivô natural é o 1 da primeira linha, primeira coluna. Para zerar o 5 que está na segunda linha, fazemos a operação
E_2 \leftarrow E_2 - 5E_1.
Calculando componente a componente:
  • Segunda linha, coeficiente de x: 5 - 5\cdot 1 = 0.
  • Segunda linha, coeficiente de y: 1 - 5\cdot 3 = 1 - 15 = -14.
  • Segunda linha, termo independente: 2 - 5\cdot 1 = 2 - 5 = -3.
A matriz aumentada após essa operação fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & -14 & -3 \end{array}\right]]

Passo 5

Interpretando a forma escalonada obtida.
A matriz já está em forma escalonada: a segunda linha tem coeficiente zero na primeira coluna e um pivô não nulo na segunda coluna. As equações correspondentes são
\begin{cases} x+3y=1,\\[4pt] -14y=-3. \end{cases}
A segunda equação envolve apenas y, o que facilita a resolução por substituição.]

Passo 6

Resolver a partir da equação de baixo (substituição para back-substitution).
Da segunda equação temos
-14y=-3 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{-3}{-14}=\frac{3}{14}.
Agora substituímos \displaystyle y=\frac{3}{14} na primeira equação:
x+3y=1 \quad\Rightarrow\quad x+3\cdot\frac{3}{14}=1.
Calculemos 3\cdot\frac{3}{14}=\frac{9}{14}. Então
x+\frac{9}{14}=1 \quad\Rightarrow\quad x=1-\frac{9}{14}=\frac{14}{14}-\frac{9}{14}=\frac{5}{14}.

Passo 7

Classificação do sistema com base no escalonamento.
Na forma escalonada obtivemos dois pivôs (um na coluna de x e outro na coluna de y) e não apareceu nenhuma contradição (como 0= c com c\neq0). O número de pivôs é igual ao número de incógnitas ( 2), logo o sistema é compatível determinado: tem exatamente uma solução.

Resposta

\left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 1\\[4pt]0 & -14 & -3\end{array}\right]
Compatível determinado.
\displaystyle x=\frac{5}{14},\; y=\frac{3}{14}]

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