Determine os valores de h e k para que o sistema tenha:
(i) uma única solução;
(ii) infinitas soluções;
(iii) nenhuma solução.
h x+y+z & =4 x+k y+z & =5 2 x+y+2 z & =8

Passo 1

O enunciado pede para estudar as soluções do sistema
h,x + y + z = 4, x + k,y + z = 5, 2x + y + 2z = 8
em função dos parâmetros h e k. Vamos usar teoria de sistemas lineares: calculamos o determinante da matriz dos coeficientes para ver quando há solução única, depois examinamos os casos em que esse determinante é zero para distinguir entre infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = h & 1 & 1 1 & k & 1 2 & 1 & 2
O seu determinante é
det(A) = h,(kcdot2 - 1cdot1);-;1,(1cdot2 - 1cdot2);+;1,(1cdot1 - kcdot2) = h,(2k-1) ;+;1-2k
Em forma factorizada:
det(A) = (2k-1),h ;-;(2k-1) = (2k-1),(h-1)

Passo 3

Se det(A)neq0, o sistema tem solução única. Logo
(2k-1),(h-1)neq0 Long<=ftrightarrow k neq tfrac12, h neq 1

Passo 4

Se det(A)=0, isto é (2k-1)(h-1)=0, temos duas sub-situações:
  1. k=tfrac12 com qualquer h,
  2. h=1 com qualquer kneqtfrac12.
Em ambas as situações o posto de A cai para 2, mas o posto da matriz aumentada
l[Amid br]
é 3 (verifica-se que a terceira equação não fica como combinação linear das duas primeiras no vetor dos termos independentes). Portanto, em todos esses casos o sistema é inconsistente, não há nenhuma solução.

Passo 5

Não há nenhum par (h,k) que torne o sistema compatível indeterminado (infinitas soluções), pois sempre que det(A)=0 ele cai em inconsistência.

Resposta

(i) Uma única solução acontece se, e somente se,
k neq tfrac12 e h neq 1
(ii) Não existe valor de (h,k) que dê infinitas soluções.
(iii) Nenhuma solução acontece quando
(2k-1)(h-1)=0,
ou seja,
k = tfrac12 ou h = 1

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