Determine os valores de e para que o sistema tenha:
(i) uma única solução;
(ii) infinitas soluções;
(iii) nenhuma solução.
Passo 1
O enunciado pede para estudar as soluções do sistema
h,x + y + z = 4, x + k,y + z = 5, 2x + y + 2z = 8
em função dos parâmetros h e k. Vamos usar teoria de sistemas lineares: calculamos o determinante da matriz dos coeficientes para ver quando há solução única, depois examinamos os casos em que esse determinante é zero para distinguir entre infinitas soluções ou nenhuma solução.
(2k-1),(h-1)neq0 Long<=ftrightarrow k neq tfrac12, h neq 1
Passo 4
Se det(A)=0, isto é (2k-1)(h-1)=0, temos duas sub-situações:
k=tfrac12 com qualquer h,
h=1 com qualquer kneqtfrac12.
Em ambas as situações o posto de A cai para 2, mas o posto da matriz aumentada
l[Amid br]
é 3 (verifica-se que a terceira equação não fica como combinação linear das duas primeiras no vetor dos termos independentes). Portanto, em todos esses casos o sistema é inconsistente, não há nenhuma solução.
Passo 5
Não há nenhum par (h,k) que torne o sistema compatível indeterminado (infinitas soluções), pois sempre que det(A)=0 ele cai em inconsistência.
Resposta
(i) Uma única solução acontece se, e somente se,
k neq tfrac12 e h neq 1
(ii) Não existe valor de (h,k) que dê infinitas soluções.
(iii) Nenhuma solução acontece quando