As matrizes a seguir, são matrizes aumentadas de um sistema de equações lineares. Escale as matriz, e determine se representam um sistema com uma única solução, infinitas soluções ou se não tem solução.
[rrrr1 & 1 & 2 & 8 -1 & -2 & 3 & 1 3 & -7 & 4 & 10]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada de um sistema linear 3times 3,
1 & 1 & 2 & 8 -1 & -2 & 3 & 1 3 & -7 & 4 & 10 ,
e pede para escalonar (usar eliminação de Gauss) e decidir se o sistema tem única solução, infinitas soluções ou se é impossível.

Passo 2

Usamos o pivô da primeira linha (1,1)=1 para zerar abaixo:
R_2 \leftarrow R_2 + R_1, R_3 \leftarrow R_3 - 3 \cdot R_1.
Isso gera
1 & 1 & 2 & 8 0 & -1 & 5 & 9 0 & -10 & -2 & -14

Passo 3

Agora o pivô da segunda linha é -1 em 2,2. Multiplicamos R_2 por -1 e zeramos R_3 nessa coluna:
R_2 \leftarrow -1 \cdot R_2 ,
R_3 \leftarrow R_3 + 10 \cdot R_2.
Fica
1 & 1 & 2 & 8 0 & 1 & -5 & -9 0 & 0 & -52 & -104

Passo 4

O pivô da terceira linha é -52 em 3,3. Dividimos R_3 por -52 para obter 1:
R_3 \leftarrow \left(-\frac{1}{52}\right) \cdot R_3,
1 & 1 & 2 & 8 0 & 1 & -5 & -9 0 & 0 & 1 & 2

Passo 5

Eliminamos acima do pivô de R_3:
R_2 \leftarrow R_2 + 5 \cdot R_3,
R_1 \leftarrow R_1 - 2 \cdot R_3,
depois zeramos em 1,2: R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
A forma escalonada reduzida final é
1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 2
Há três pivôs não nulos (colunas 1,2, 3), logo o sistema é compatível determinado.

Resposta

A forma escalonada reduzida é
1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 2
e o sistema tem única solução (x,y,z)=(3,1,2).

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