Determine os valores de k(k in R), para que os sistemas sejam normais:
a) l x + y + z = 1 k x + 2 y + 3 z = 7 k ^ 2 x + 4 y + 9 z = 1 b) l (k-1) x+4 y=2 k (k+1) x-2 y=1+3 k
OBS: Sist. Linear Normal =ln^circ equações =n^circ incógnitas De<a matriz coef das incógnitas neq 0çõóó

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de kinR que tornam cada sistema normal. Um sistema linear é normal quando (1) o número de equações é igual ao número de incógnitas (já vale nos dois casos) e (2) o determinante da matriz de coeficientes é diferente de zero.

Passo 2

Para o sistema (a), a matriz de coeficientes é
A = 1 & 1 & 1 k & 2 & 3 k^2 & 4 & 9
Como são três equações e três incógnitas, basta exigir det(A)neq0.

Passo 3

Calculando o determinante:
det(A) =1cdot(2cdot9-3cdot4) -1cdot(kcdot9-3k^2) +1cdot(kcdot4-2k^2)
det(A) =6 - (9k-3k^2) + (4k-2k^2) =6 -9k+3k^2+4k-2k^2 =k^2-5k+6 =(k-2)(k-3)
Portanto det(A)neq0 se, e somente se, kneq2 e kneq3.

Passo 4

Para o sistema (b), a matriz de coeficientes é
B = k-1 & 4 k+1 & -2
São duas equações e duas incógnitas, logo basta exigir det(B)neq0.

Passo 5

Calculando o determinante:
det(B) =(k-1)(-2)-4(k+1) =-2k+2-4k-4 =-6k-2
Logo det(B)neq0 se, e somente se,
-6k-2neq0 Longrightarrow kneq -tfrac13

Resposta

a) kneq 2,3.
b) kneq -tfrac13.

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