Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, temos uma questão envolvendo produtos vetoriais. A pergunta é: será que a igualdade
é sempre verdadeira? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades do produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. É uma operação entre dois vetores que resulta em outro vetor perpendicular aos dois originais. Uma das propriedades importantes do produto vetorial é a distributividade em relação à adição de vetores. Isso significa que o produto vetorial de um vetor com a soma de outros dois vetores é igual à soma dos produtos vetoriais desse vetor com cada um dos vetores adicionados.
Passo 3
Vamos aplicar essa propriedade à nossa igualdade. Temos:
De acordo com a distributividade, isso deve ser igual a:
Passo 4
Para confirmar se a igualdade sempre vale, podemos pensar em componentes ou simplesmente confiar na propriedade conhecida da distributividade do produto vetorial. Como essa é uma propriedade fundamental do produto vetorial, a igualdade sempre será verdadeira, independentemente dos vetores
,
e
escolhidos.
Resposta
A igualdade
é sempre verdadeira porque o produto vetorial distribui sobre a adição de vetores.