Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
u times(v+w)=u times v+u times w

Passo 1

Então, temos uma questão envolvendo produtos vetoriais. A pergunta é: será que a igualdade u times (v + w) = u times v + u times w é sempre verdadeira? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. É uma operação entre dois vetores que resulta em outro vetor perpendicular aos dois originais. Uma das propriedades importantes do produto vetorial é a distributividade em relação à adição de vetores. Isso significa que o produto vetorial de um vetor com a soma de outros dois vetores é igual à soma dos produtos vetoriais desse vetor com cada um dos vetores adicionados.

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade à nossa igualdade. Temos:
u times (v + w)
De acordo com a distributividade, isso deve ser igual a:
u times v + u times w

Passo 4

Para confirmar se a igualdade sempre vale, podemos pensar em componentes ou simplesmente confiar na propriedade conhecida da distributividade do produto vetorial. Como essa é uma propriedade fundamental do produto vetorial, a igualdade sempre será verdadeira, independentemente dos vetores u, v e w escolhidos.

Resposta

A igualdade u times (v + w) = u times v + u times w é sempre verdadeira porque o produto vetorial distribui sobre a adição de vetores.

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