Determine os valores de b tais que o polinômio p(x)=4 x^3+6 a x^2+b tenha uma raiz no intervalo [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é encontrar os valores de b para os quais o polinômio p(x) = 4x^3 + 6a x^2 + b tem pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1]. Basicamente, nosso objetivo é descobrir para quais valores de b o gráfico desse polinômio corta o eixo x entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos precisar avaliar o polinômio nos extremos desse intervalo e analisar onde ele muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de p(x) nos extremos do intervalo, ou seja, em x = 0 e x = 1 .
Para x = 0 :
p(0) = 4(0)^3 + 6a(0)^2 + b = b
Para x = 1 :
p(1) = 4(1)^3 + 6a(1)^2 + b = 4 + 6a + b

Passo 3

Agora, para que o polinômio tenha pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1], é necessário que haja uma mudança de sinal entre p(0) e p(1) . Isso significa que o produto p(0) times p(1) deve ser menor ou igual a zero:
p(0) times p(1) <= 0
Substituindo os valores que encontramos:
b times (4 + 6a + b) <= 0

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade b times (4 + 6a + b) <= 0 . Primeiro, vamos reescrever a expressão:
b(4 + 6a + b) <= 0
Isso é uma inequação do segundo grau em b :
b^2 + 6a b + 4b <= 0
Podemos fatorar essa expressão:
b(b + 6a + 4) <= 0

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de b que satisfazem essa inequação. As raízes da equação b(b + 6a + 4) = 0 são:
b = 0 e b = -6a - 4
Esses pontos dividem a reta dos números reais em intervalos. Precisamos determinar em quais desses intervalos a expressão b(b + 6a + 4) é menor ou igual a zero.

Passo 6

Considerando as raízes b = 0 e b = -6a - 4 , temos dois casos dependendo do valor de a :
  1. Se -6a - 4 < 0 :
    • Nesse caso, a inequação b(b + 6a + 4) <= 0 é satisfeita quando b está entre -6a - 4 e 0 .
    • Ou seja:
-6a - 4 <= b <= 0
  1. Se -6a - 4 > 0 :
    • Aqui, a inequação é satisfeita quando b está entre 0 e -6a - 4 .
    • Ou seja:
0 <= b <= -6a - 4

Resposta

Portanto, os valores de b que garantem que o polinômio p(x) = 4x^3 + 6a x^2 + b tenha uma raiz no intervalo [0, 1] são aqueles que satisfazem:
-6a - 4 <= b <= 0 ou 0 <= b <= -6a - 4
dependendo do valor de a .

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