Determine os valores de
tais que o polinômio
tenha uma raiz no intervalo [0,1].
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é encontrar os valores de
para os quais o polinômio
tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Basicamente, nosso objetivo é descobrir para quais valores de
o gráfico desse polinômio corta o eixo
entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos precisar avaliar o polinômio nos extremos desse intervalo e analisar onde ele muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
nos extremos do intervalo, ou seja, em
e
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, para que o polinômio tenha pelo menos uma raiz no intervalo
, é necessário que haja uma mudança de sinal entre
e
. Isso significa que o produto
deve ser menor ou igual a zero:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade
. Primeiro, vamos reescrever a expressão:
Isso é uma inequação do segundo grau em
:
Podemos fatorar essa expressão:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
que satisfazem essa inequação. As raízes da equação
são:
Esses pontos dividem a reta dos números reais em intervalos. Precisamos determinar em quais desses intervalos a expressão
é menor ou igual a zero.
Passo 6
Considerando as raízes
e
, temos dois casos dependendo do valor de
:
- Se
: - Nesse caso, a inequação
é satisfeita quando está entre e . - Ou seja:
- Nesse caso, a inequação
- Se
: - Aqui, a inequação é satisfeita quando
está entre e . - Ou seja:
- Aqui, a inequação é satisfeita quando
Resposta
Portanto, os valores de
que garantem que o polinômio
tenha uma raiz no intervalo
são aqueles que satisfazem:
dependendo do valor de
.