Resolva as seguintes equações redutíveis a homogênea:
(2 x-3 y) d x-(3 x-y-1) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x - 3y),dx ;-;(3x - y - 1),dy ;=;0
Esse é um caso de equação de primeira ordem redutível a homogênea por translação de variáveis e substituição Y=vX. Vamos reescrever na forma dy/dx, achar a translação que elimina as constantes e, em seguida, resolver a homogênea resultante.

Passo 2

Reescrevendo em termos de declive, temos
dydx ;=;2x - 3y3x - y - 1,
que não é homogênea devido ao termo constante -1 no denominador.

Passo 3

Procuramos uma translação
x = X + a, y = Y + b
que anule os termos constantes nos polinômios
2(x)-3(y)=2(X+a)-3(Y+b)=2X-3Y+(2a-3b),
3(x)-y-1=3(X+a)-(Y+b)-1=3X-Y+(3a-b-1)
Impondo
2a-3b=0, 3a-b-1=0
garantimos que os polinômios fiquem homogêneos em X,Y.

Passo 4

Resolvendo o sistema
2a-3b=0, 3a-b=1
obtém-se
a=37, b=27

Passo 5

Com a translação x = X+tfrac37, y = Y+tfrac27, a equação em X,Y torna-se
dYdX = 2X - 3Y3X - Y,
que é homogênea nos termos de X e Y.

Passo 6

Usamos a substituição homogênea
Y = vX Longrightarrow dYdX = v + XdvdX,
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v + XdvdX = 2X -3vX3X -vX = 2-3v3-v

Passo 7

Reorganizando obtemos a forma separável
XdvdX = 2-3v3-v - v = v^2 -6v +23 -v,
ou seja,
3-vv^2 -6v +2,dv = dXX
Integrando,
integral 3-vv^2 -6v +2,dv = integral dXX ;Longrightarrow; -tfrac12lnl|v^2 -6v +2r| = lnlvert Xrvert + C1
Exponentiando,
v^2 -6v +2 = CX^2,
com C constante arbitrária.

Passo 8

Voltando a v = Y/X, X = x - tfrac37, Y = y - tfrac27 e multiplicando por X^2, surge a solução geral implícita
Y^2 -6XY +2X^2 = C Longrightarrow (y - tfrac27)^2 -6,(x - tfrac37)(y - tfrac27) +2,(x - tfrac37)^2 = C

Resposta

(y - tfrac27)^2 -6,(x - tfrac37)(y - tfrac27) +2,(x - tfrac37)^2 = C, CinR

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