Resolva as seguintes equações redutíveis a homogênea:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Esse é um caso de equação de primeira ordem redutível a homogênea por translação de variáveis e substituição . Vamos reescrever na forma , achar a translação que elimina as constantes e, em seguida, resolver a homogênea resultante.
Passo 2
Reescrevendo em termos de declive, temos
que não é homogênea devido ao termo constante no denominador.
Passo 3
Procuramos uma translação
que anule os termos constantes nos polinômios
Impondo
garantimos que os polinômios fiquem homogêneos em .
Passo 4
Resolvendo o sistema
obtém-se
Passo 5
Com a translação , , a equação em torna-se
que é homogênea nos termos de e .
Passo 6
Usamos a substituição homogênea
logo
Passo 7
Reorganizando obtemos a forma separável
ou seja,
Integrando,
Exponentiando,
v^2 -6v +2 = CX^2,
com C constante arbitrária.
Passo 8
Voltando a v = Y/X, X = x - tfrac37, Y = y - tfrac27 e multiplicando por X^2, surge a solução geral implícita
Y^2 -6XY +2X^2 = C Longrightarrow (y - tfrac27)^2 -6,(x - tfrac37)(y - tfrac27) +2,(x - tfrac37)^2 = C