Determine os valores de k tais que o sistema de equações lineares tenha exatamente uma solução.
x-y+2 z=0
-x+y-z=0
x+k y+z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x - y + 2z = 0, -,x + y - z = 0, x + k,y + z = 0,
e pede os valores de k para os quais ele tem exatamente uma solução. Isso ocorre exatamente quando a matriz dos coeficientes é invertível, ou seja, quando seu determinante é não nulo.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = 1 & -1 & 2 -1 & 1 & -1 1 & k & 1
Vamos calcular det(A) usando a primeira linha:
det(A) =1cdotdet!1 & -1 k & 1 -(-1)cdotdet!-1 & -1 1 & 1 +2cdotdet!-1 & 1 1 & k
Cada menor dá
det!1 & -1 k & 1 =1cdot1 - (-1)cdot k = 1 + k,
det!-1 & -1 1 & 1 =(-1)cdot1 - (-1)cdot1 = -1 + 1 = 0,
det!-1 & 1 1 & k =(-1)cdot k - 1cdot1 = -,k - 1
Substituindo,
det(A) = (1+k) + 2(-k - 1) = 1 + k - 2k - 2 = -1 - k = -(k + 1)

Passo 3

Para que haja exatamente uma solução, precisamos de det(A)neq0. Assim,
-(k+1)neq0 Longrightarrow k+1neq0 Longrightarrow kneq -1

Resposta

O sistema tem exatamente uma solução para todo k tal que
k neq -1

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