Encontre (se possível) os valores de a, b e c de modo que o sistema de equações lineares tenha (a) nenhuma solução, (b) exatamente uma solução e (c) infinitas soluções.
2 x-y+z =a
x+y+2 z =b
3 y+3 z =c

Passo 1

O enunciado pede para vermos, em função de a,b,c, quando o sistema
2x - y + z = a, x + y + 2z = b, 3y + 3z = c,
tem nenhuma solução, exatamente uma solução ou infinitas soluções. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: vamos usar determinante, rank da matriz dos coeficientes e Teorema de Rouché–Capelli.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 2 & -1 & 1 1 & 1 & 2 0 & 3 & 3
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det A =21&23&3 -(-1)1&20&3 +11&10&3 =2(1cdot3-2cdot3)+1(1cdot3-2cdot0)+1(1cdot3-1cdot0) =-6+3+3=0

Passo 3

Como det A=0, a matriz é singular e o sistema não pode ter solução única. O rank de A é 2 (por exemplo, as duas primeiras linhas são independentes), então ou o sistema é inconsistente (rank aumentado =3) ou tem infinitas soluções (rank aumentado =2).

Passo 4

Para achar a condição de consistência, fazemos a combinação linear que anula as equações da parte esquerda. Observa-se que
(Eq1) - 2cdot(Eq2) + 1cdot(Eq3)
0cdot x + 0cdot y + 0cdot z = a - 2b + c
Logo, o sistema é consistente (rank aumentado =2) se, e somente se,
a - 2b + c = 0

Passo 5

Concluímos:
  • Se a - 2b + c neq 0, o sistema é inconsistente e não tem solução.
  • Se a - 2b + c = 0, o sistema tem rank coeficientes = rank aumentado =2 < número de incógnitas ( 3), portanto infinitas soluções.
  • Não há possibilidade de exatamente uma solução, pois det A=0 elimina essa hipótese.

Resposta

(a) Não existe solução se, e somente se,
a - 2b + c neq 0
(b) Não há valores de (a,b,c) que gerem exatamente uma solução.
(c) Há infinitas soluções se, e somente se,
a - 2b + c = 0

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