Encontre (se possível) os valores de e de modo que o sistema de equações lineares tenha (a) nenhuma solução, (b) exatamente uma solução e (c) infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado pede para vermos, em função de , quando o sistema
tem nenhuma solução, exatamente uma solução ou infinitas soluções. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: vamos usar determinante, rank da matriz dos coeficientes e Teorema de Rouché–Capelli.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
A = 2 & -1 & 1 1 & 1 & 2 0 & 3 & 3
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det A =21&23&3 -(-1)1&20&3 +11&10&3 =2(1cdot3-2cdot3)+1(1cdot3-2cdot0)+1(1cdot3-1cdot0) =-6+3+3=0
Passo 3
Como det A=0, a matriz é singular e o sistema não pode ter solução única. O rank de A é 2 (por exemplo, as duas primeiras linhas são independentes), então ou o sistema é inconsistente (rank aumentado =3) ou tem infinitas soluções (rank aumentado =2).
Passo 4
Para achar a condição de consistência, fazemos a combinação linear que anula as equações da parte esquerda. Observa-se que
(Eq1) - 2cdot(Eq2) + 1cdot(Eq3)
dá
0cdot x + 0cdot y + 0cdot z = a - 2b + c
Logo, o sistema é consistente (rank aumentado =2) se, e somente se,
a - 2b + c = 0
Passo 5
Concluímos:
Se a - 2b + c neq 0, o sistema é inconsistente e não tem solução.
Se a - 2b + c = 0, o sistema tem rank coeficientes = rank aumentado =2 < número de incógnitas (3), portanto infinitas soluções.
Não há possibilidade de exatamente uma solução, pois det A=0 elimina essa hipótese.
Resposta
(a) Não existe solução se, e somente se,
a - 2b + c neq 0
(b) Não há valores de (a,b,c) que gerem exatamente uma solução.