Encontre valores de a e b tais que o sistema de equações lineares tenha (a) nenhuma solução, (b) exatamente uma solução e (c) infinitas soluções.
x+2 y =3
a x+b y =-9

Passo 1

Temos o sistema
x + 2y = 3, a x + b y = -9
O conteúdo é classificação de solução de um sistema 2times2: usamos o determinante da matriz de coeficientes e a condição de consistência.

Passo 2

O determinante da matriz de coeficientes é
det = 1 & 2 a & b =1cdot b -2cdot a = b - 2a
Se detneq0, o sistema tem exatamente uma solução (pois a matriz é invertível). Logo:
(b) exatamente uma solução: b-2aneq0 çã

Passo 3

Para ter infinitas soluções, precisamos de det=0 (sistema degenerado) e de consistência (as duas equações são múltiplos uma da outra). Seja k tal que
(a,b)=k,(1,2)e -9 = kcdot 3
Da segunda igualdade vem k=-3. Assim
a = kcdot1 = -3, b = kcdot2 = -6
Portanto
(c) infinitas soluções: a=-3,;b=-6 çõ

Passo 4

Para não ter solução, basta det=0 (ou seja b-2a=0) mas não satisfazer a consistência -9=3a. Em outras palavras:
b-2a=0 e aneq -3
Assim as retas são paralelas e distintas, não se interceptam.

Resposta

(a) Nenhuma solução se b=2a e aneq -3.
(b) Exatamente uma solução se b-2aneq0.
(c) Infinitas soluções se a=-3 e b=-6.

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