Determine os valores de x que satisfazem a:
c) |\operatorname{sen} x|=\frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
|\sin x| = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Isso envolve dois tópicos: propriedade do valor absoluto e soluções gerais de equações do tipo \sin x = c.

Passo 2

Usamos a definição de módulo: |A|=B com B\ge 0 equivale a
A = B \quad\text{ou}\quad A = -B.
Aqui A=\sin x e B=\frac{\sqrt{2}}{2}, logo temos as duas equações
\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad\text{e}\quad \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Para \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}, sabemos que no círculo unitário isso ocorre em x=\pi/4 e x=3\pi/4 dentro de [0,2\pi). Como \sin é 2\pi-periódica, a solução geral é
x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad\text{ou}\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,
com n\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Para \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, no intervalo [0,2\pi) as soluções são x=5\pi/4 e x=7\pi/4. Incluindo a periodicidade de 2\pi, a forma geral é
x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \quad\text{ou}\quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,
com n\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Observando que |\sin x| tem período \pi (pois \sin(x+\pi)=-\sin x e o módulo anula o sinal), todas essas quatro famílias de soluções podem ser unificadas numa só fórmula:
x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k,
onde k\in\mathbb{Z}. Para k=0,1,2,3 obtém-se \pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4, e para k\mapsto k+4 repete-se a solução acrescida de 2\pi.

Resposta

x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\,k,\quad k\in\mathbb{Z}.

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