Encontre os comprimentos das curvas:
\left(\cos ^{3} t, \operatorname{sen}^{3} t\right), \quad 0 \leq t \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x(t)=\cos^{3}t,\quad y(t)=\sin^{3}t,
para 0\le t\le \pi/2, e pede o comprimento dessa curva. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas, que é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\cos^{3}t\bigr)=3\cos^{2}t\cdot(-\sin t)=-3\cos^{2}t\,\sin t,
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\sin^{3}t\bigr)=3\sin^{2}t\cdot\cos t=3\sin^{2}t\,\cos t.

Passo 3

Substituindo embaixo da raiz temos
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}} =\sqrt{(-3\cos^{2}t\,\sin t)^{2}+(3\sin^{2}t\,\cos t)^{2}} =\sqrt{9\cos^{4}t\,\sin^{2}t+9\sin^{4}t\,\cos^{2}t}
\quad=\sqrt{9\cos^{2}t\,\sin^{2}t\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)} =3\cos t\,\sin t,
já que \cos t\ge0 e \sin t\ge0 em [0,\pi/2].

Passo 4

O comprimento fica
L=\int_{0}^{\pi/2}3\sin t\cos t\;dt =3\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cos t\;dt.
Usando \sin t\cos t=\tfrac12\sin(2t) ou diretamente a substituição u=\sin t,
\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cos t\;dt =\frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin(2t)\;dt =\frac12\Bigl[-\tfrac12\cos(2t)\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac12\cdot\frac12\bigl(1-(-1)\bigr) =\frac12.
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L=3\cdot\frac12=\frac32.

Resposta

\displaystyle \frac32

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