Determine os valores de x que satisfazem a:
d) \cos x<\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x \in[0,2 \pi[

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2},
no intervalo [0,2\pi[. Esse é um problema de inequação trigonométrica, que podemos atacar usando o círculo unitário e o comportamento da função \cos x.

Passo 2

Primeiro, determinamos os pontos em que
\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}.
No intervalo [0,2\pi[ isso ocorre exatamente em
x = \frac{\pi}{4} \quad\text{e}\quad x = \frac{7\pi}{4}.

Passo 3

No círculo unitário, \cos x é a coordenada x do ponto. A condição \cos x<\frac{\sqrt{2}}{2} significa que esse ponto está à esquerda da reta vertical x=\frac{\sqrt{2}}{2}. Geometricamente isso ocorre para
\frac{\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4}.
Fora desse intervalo (isto é, para 0\le x\le\frac{\pi}{4} ou \frac{7\pi}{4}\le x<2\pi) temos \cos x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}, então não satisfaz a inequação.

Resposta

x \in \bigl(\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{7\pi}{4}\bigr)

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