Determine os valores de x que satisfazem a:
e) \operatorname{sen} x \geqslant \frac{1}{2}, \quad x \in[0,2 \pi[

Passo 1

O enunciado pede para resolver
\sin x \ge \frac12,
no intervalo x\in[0,2\pi[. O conteúdo é desigualdade trigonométrica: vamos primeiro achar as soluções de \sin x=\tfrac12 e depois determinar onde \sin x fica maior ou igual a \tfrac12.

Passo 2

Resolvendo \sin x=\tfrac12 em [0,2\pi[, usamos que
x = \arcsin\!\Bigl(\tfrac12\Bigr) = \frac{\pi}{6}
e, no segundo quadrante,
x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.

Passo 3

A função \sin x é crescente em [0,\tfrac{\pi}{2}] e decrescente em [\tfrac{\pi}{2},\pi]. Logo, ela satisfaz
\sin x \ge \frac12
exatamente para os x entre as raízes encontradas, ou seja,
x \in \Bigl[\frac{\pi}{6},\,\frac{5\pi}{6}\Bigr].

Passo 4

Fora de \bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\bigr] em [0,2\pi[, a função \sin x assume valores menores que \tfrac12, portanto não atende à desigualdade.

Resposta

x \in \Bigl[\frac{\pi}{6},\,\frac{5\pi}{6}\Bigr].

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