Determine os valores de x que satisfazem a desigualdade:
.
(a)
(-infty, 0) ,
(b)
(0, infty) ,
(c)
(3, infty) ,
(d)
(-infty,-3) ,
(e)
R=(-infty, infty) .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
onde naturalmente
xneq 0 . Vamos usar as propriedades do valor absoluto, transformando
em
Passo 2
A partir de
fazemos o estudo por casos de sinal de
x-1 e de
x :
- Se
, isto éx-1>= 0 , entãox>=1 e|x-1|=x-1 . A desigualdade vira|x|=x
o que não pode ocorrer simultaneamente com
x>=1 . Logo, nenhum
x>=1 satisfaz.
-
Se
, isto éx-1<0 , entãox<1 . Agora subdividimos conforme o sinal de|x-1|=1-x :x 2.1. : aquix>0 , e a desigualdade|x|=x 1 - x > 2x Longrightarrow 1 > 3x Longrightarrow x < tfrac13, combinando com dá0<x<1 0 < x < tfrac13 2.2. : aquix<0 , e a desigualdade|x|=-x 1 - x > 2(-x) Longrightarrow 1 - x > -2x Longrightarrow 1 > -x Longrightarrow x > -1, combinando com dáx<0 -1 < x < 0
Passo 3
Juntando os subintervalos obtidos em
x<1 , temos a solução completa
Relembrando que
x=0 está de fora do domínio, a resposta final é