Determine os valores de x que satisfazem a desigualdade: |x-1x|>2.
(a) (-infty, 0),
(b) (0, infty),
(c) (3, infty),
(d) (-infty,-3),
(e) R=(-infty, infty).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|x-1x| > 2,
onde naturalmente xneq 0. Vamos usar as propriedades do valor absoluto, transformando
|x-1x| > 2
em
|,x-1| > 2,|x|

Passo 2

A partir de
|,x-1| > 2,|x|
fazemos o estudo por casos de sinal de x-1 e de x:
  1. Se x-1>= 0, isto é x>=1, então |x-1|=x-1 e |x|=x. A desigualdade vira
x-1 > 2x Longrightarrow -1 > x,
o que não pode ocorrer simultaneamente com x>=1. Logo, nenhum x>=1 satisfaz.
  1. Se x-1<0, isto é x<1, então |x-1|=1-x. Agora subdividimos conforme o sinal de x:
    2.1. x>0: aqui |x|=x, e a desigualdade
    1 - x > 2x Longrightarrow 1 > 3x Longrightarrow x < tfrac13,
    combinando com 0<x<1
    0 < x < tfrac13
    2.2. x<0: aqui |x|=-x, e a desigualdade
    1 - x > 2(-x) Longrightarrow 1 - x > -2x Longrightarrow 1 > -x Longrightarrow x > -1,
    combinando com x<0
    -1 < x < 0

Passo 3

Juntando os subintervalos obtidos em x<1, temos a solução completa
-1 < x < 0 cup 0 < x < tfrac13
Relembrando que x=0 está de fora do domínio, a resposta final é
(-1,0);cup;(0,tfrac13)

Resposta

(-1,0)cup(0,tfrac13)

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