Esboce o gráfico da função
f(x)=arctan (2 x+3x+1)+2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o gráfico da função f(x) = arctan(2x + 3x + 1) + 2x . Vamos trabalhar com conceitos de funções trigonométricas, derivadas e comportamento assintótico para entender como essa função se comporta e desenhar seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte dentro da função arctan, que é 2x + 3x + 1 . Isso é uma função racional, onde o numerador é 2x + 3 e o denominador é x + 1 . A arctan, ou arco-tangente, nos dá o ângulo cujo tangente é esse valor. É importante entender o comportamento dessa fração para saber como a função arctan vai atuar sobre ela.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão 2x + 3x + 1 . Podemos fazer uma divisão polinomial ou perceber que:
2x + 3x + 1 = 2 - -1x + 1
Isso ajuda a ver que, à medida que x cresce, a fração se aproxima de 2. Portanto, a expressão dentro da arctan se aproxima de 2 conforme x aumenta.

Passo 4

Agora, vamos considerar o comportamento de arctan(z) . A função arctan tem um domínio de todos os números reais e retorna valores entre -pi2 e pi2 . À medida que z cresce, arctan(z) se aproxima de pi2 , e à medida que z diminui, se aproxima de -pi2 .

Passo 5

Combinando isso com nossa função, temos arctan(2x + 3x + 1) + 2x . À medida que x aumenta, 2x + 3x + 1 se aproxima de 2, então arctan(2) é aproximadamente 1.107 radianos. Portanto, para grandes valores de x , a função se comporta como 2x + 1.107 , que é uma reta com inclinação 2.

Passo 6

Vamos agora encontrar a derivada da função para entender onde ela está crescendo ou decrescendo. A derivada de f(x) é:
f'(x) = ddx[arctan(2x + 3x + 1)] + ddx(2x)
Usando a regra da cadeia, temos:
f'(x) = (2)(x + 1) - (2x + 3)(1)(x + 1)^2 + (2x + 3)^2 + 2
Simplificando:
f'(x) = 2x + 2 - 2x - 3(x + 1)^2 + (2x + 3)^2 + 2 = -1(x + 1)^2 + (2x + 3)^2 + 2
Como o denominador é sempre positivo, -1positivo é negativo, então f'(x) = 2 - pequeno positivo , o que significa que f'(x) é sempre positivo. Portanto, a função está sempre aumentando.

Passo 7

Vamos identificar alguns pontos chave para esboçar o gráfico:
  • Intercepto com o eixo y: quando x = 0 , f(0) = arctan(31) + 0 = arctan(3) approx 1.249 .
  • Comportamento assintótico: como vimos, para x grande positivo, f(x) approx 2x + 1.107 , e para x grande negativo, a fração dentro da arctan tende a 2, então f(x) approx 2x + 1.107 também.
  • Crescimento contínuo: já que a derivada é sempre positiva, o gráfico nunca tem máximos ou mínimos locais, apenas sobe constantemente.

Passo 8

Finalmente, juntando tudo:
  • O gráfico cruza o eixo y em aproximadamente (0, 1.249).
  • A função é sempre crescente.
  • Para valores grandes de x , o gráfico se aproxima da reta y = 2x + 1.107 .
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico desenhando uma curva que passa por (0, 1.249), sobe de forma contínua e se aproxima da reta inclinada y = 2x + 1.107 nos extremos.

Resposta

O gráfico da função f(x) = arctan(2x + 3x + 1) + 2x é uma curva crescente que passa pelo ponto (0, 1.249) e se aproxima da reta y = 2x + 1.107 conforme x tende ao infinito positivo e negativo.

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