Esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o gráfico da função
. Vamos trabalhar com conceitos de funções trigonométricas, derivadas e comportamento assintótico para entender como essa função se comporta e desenhar seu gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte dentro da função arctan, que é
. Isso é uma função racional, onde o numerador é
e o denominador é
. A arctan, ou arco-tangente, nos dá o ângulo cujo tangente é esse valor. É importante entender o comportamento dessa fração para saber como a função arctan vai atuar sobre ela.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
. Podemos fazer uma divisão polinomial ou perceber que:
Isso ajuda a ver que, à medida que
cresce, a fração se aproxima de 2. Portanto, a expressão dentro da arctan se aproxima de 2 conforme
aumenta.
Passo 4
Agora, vamos considerar o comportamento de
. A função arctan tem um domínio de todos os números reais e retorna valores entre
e
. À medida que
cresce,
se aproxima de
, e à medida que
diminui, se aproxima de
.
Passo 5
Combinando isso com nossa função, temos
. À medida que
aumenta,
se aproxima de 2, então
é aproximadamente 1.107 radianos. Portanto, para grandes valores de
, a função se comporta como
, que é uma reta com inclinação 2.
Passo 6
Vamos agora encontrar a derivada da função para entender onde ela está crescendo ou decrescendo. A derivada de
é:
Usando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Como o denominador é sempre positivo,
é negativo, então
, o que significa que
é sempre positivo. Portanto, a função está sempre aumentando.
Passo 7
Vamos identificar alguns pontos chave para esboçar o gráfico:
-
Intercepto com o eixo y: quando
, . -
Comportamento assintótico: como vimos, para
grande positivo, , e para grande negativo, a fração dentro da arctan tende a 2, então também. -
Crescimento contínuo: já que a derivada é sempre positiva, o gráfico nunca tem máximos ou mínimos locais, apenas sobe constantemente.
Passo 8
Finalmente, juntando tudo:
- O gráfico cruza o eixo y em aproximadamente (0, 1.249).
- A função é sempre crescente.
- Para valores grandes de
, o gráfico se aproxima da reta .
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico desenhando uma curva que passa por (0, 1.249), sobe de forma contínua e se aproxima da reta inclinada
nos extremos.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva crescente que passa pelo ponto (0, 1.249) e se aproxima da reta
conforme
tende ao infinito positivo e negativo.