Esboce o gráfico da função
f(x)=x^2raiz1-x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^2raiz1-x
O conteúdo envolve análise de domínio, limites nos extremos, derivada para monotonia, segunda derivada para concavidade e pontos notáveis (interceptos e assíntotas).

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como há uma raiz no denominador, precisamos de
1 - x >= 0 e raiz1 - xneq 0
Isto dá x<= 1 e, para evitar denominador zero, x<1. Logo o domínio é
D=(-infty,1)

Passo 3

Calcular interceptos e limites internos:
— Em x=0,
f(0)=0^2raiz1-0=0,
logo há intercepto em (0,0).
— Para xneq 0, x^2>0 e raiz1-x>0, logo f(x)>0. Não há outros zeros.

Passo 4

Analisar limites nos extremos do domínio:
— Quando xto 1^-, o denominador raiz1-xto 0^+ com numerador to 1, então
limxto1^-f(x)=+infty,
ou seja, há assíntota vertical em x=1.
— Quando xto -infty, nota-se que
f(x)=x^2raiz1-x simx^2raiz-x =(-x)^3/2to +infty

Passo 5

Derivar para estudar monotonia. Escreva
f(x)=x^2(1-x)^-tfrac12
Calcula-se
f'(x) =x,(4-3x)2,(1-x)^3/2
No domínio x<1 temos (1-x)^3/2>0 e o sinal de f' é o de x(4-3x). Como 4-3x>0 para todo x<1, conclui-se
f'(x)<0se x<0, f'(x)>0se 0<x<1
Logo f é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,1), com mínimo em x=0.

Passo 6

Derivar novamente para concavidade. Encontra-se
f''(x) =2-2x+tfrac34x^2(1-x)^5/2
O numerador 2-2x+tfrac34x^2 é sempre positivo (discriminante negativo) e o denominador em (-infty,1) também. Assim
f''(x)>0forall xin(-infty,1),
ou seja, f é estritamente convexa em todo o domínio.

Passo 7

Com todas as informações:
— Domínio xin(-infty,1).
— Intercepto em (0,0).
— Limites f(x)to+infty quando xto-infty e quando xto1^-.
— Decrescente convexa até x=0, depois crescente convexa até x=1.
— Assíntota vertical em x=1.
Isto define um “U” assimétrico, que cai de +infty em xto-infty até (0,0) e sobe de forma convexa até +infty em xto1^-.

Resposta

O gráfico de f é uma curva convexa, com mínimo global em (0,0), decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,1), tendendo a +infty tanto para xto-infty quanto para xto1^-, apresentando assíntota vertical em x=1.

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