Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo envolve análise de domínio, limites nos extremos, derivada para monotonia, segunda derivada para concavidade e pontos notáveis (interceptos e assíntotas).
Passo 2
Determinar o domínio de
. Como há uma raiz no denominador, precisamos de
Isto dá
e, para evitar denominador zero,
. Logo o domínio é
Passo 3
Calcular interceptos e limites internos:
— Em ,
— Em
logo há intercepto em
.
— Para ,
e
, logo
. Não há outros zeros.
— Para
Passo 4
Analisar limites nos extremos do domínio:
— Quando , o denominador
com numerador
, então
— Quando
ou seja, há assíntota vertical em
.
— Quando , nota-se que
— Quando
Passo 5
Derivar para estudar monotonia. Escreva
Calcula-se
No domínio
temos
e o sinal de
é o de
. Como
para todo
, conclui-se
Logo
é decrescente em
e crescente em
, com mínimo em
.
Passo 6
Derivar novamente para concavidade. Encontra-se
O numerador
é sempre positivo (discriminante negativo) e o denominador em
também. Assim
ou seja,
é estritamente convexa em todo o domínio.
Passo 7
Com todas as informações:
— Domínio .
— Intercepto em .
— Limites quando
e quando
.
— Decrescente convexa até , depois crescente convexa até
.
— Assíntota vertical em .
— Domínio
— Intercepto em
— Limites
— Decrescente convexa até
— Assíntota vertical em
Isto define um “U” assimétrico, que cai de
em
até
e sobe de forma convexa até
em
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva convexa, com mínimo global em
, decrescente em
e crescente em
, tendendo a
tanto para
quanto para
, apresentando assíntota vertical em
.