Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
Vamos estudar domínio, simetria, comportamento nas fronteiras, monotonicidade e, a partir daí, montar o esboço.
Passo 2
Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja real e não nulo, ou seja
Logo,
. Em particular,
. Note também que
ou seja, a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Estudamos o comportamento quando
. Como
e
, temos
Isto significa que há assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Para ver onde a função cresce ou decresce, calculamos
No domínio
temos
, logo o sinal de
é o mesmo de
. Concluímos:
– em
, ou seja, decresce nesse intervalo.
– em
, ou seja, cresce nesse intervalo.
Assim, é ponto de mínimo, com valor
.
–
–
Assim,
Passo 5
Com todas essas informações, o esboço fica assim:
– Domínio aberto em .
– Valor mínimo .
– Assíntotas verticais em e
.
– Ramo esquerdo decrescente de em
até
em
.
– Ramo direito crescente de em
até
em
.
Os ramos são suaves e simétricos em relação ao eixo .
– Domínio aberto em
– Valor mínimo
– Assíntotas verticais em
– Ramo esquerdo decrescente de
– Ramo direito crescente de
Os ramos são suaves e simétricos em relação ao eixo
Resposta
O gráfico de
é formado por dois ramos simétricos em torno do eixo
, com ponto de mínimo em
e assíntotas verticais em
e
.