Esboce o gráfico da função
f(x)=x^2raiz4-x^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^2raiz4-x^2
Vamos estudar domínio, simetria, comportamento nas fronteiras, monotonicidade e, a partir daí, montar o esboço.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja real e não nulo, ou seja
4 - x^2 > 0Longrightarrow -2 < x < 2
Logo, Dom(f)=(-2,2). Em particular, f(0)=0. Note também que
f(-x)=(-x)^2raiz4-(-x)^2=x^2raiz4-x^2=f(x),
ou seja, a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Estudamos o comportamento quando xtopm2. Como
raiz4-x^2to0^+ e x^2to4, temos
limxto2^-f(x)=limxto-2^+f(x)=+infty
Isto significa que há assíntotas verticais em x=-2 e x=2.

Passo 4

Para ver onde a função cresce ou decresce, calculamos
f'(x) =(2x)raiz4-x^2-x^2cdotl(-xraiz4-x^2r)4-x^2 =x,(8 - x^2)(4 - x^2)^3/2
No domínio (-2,2) temos 8-x^2>0, logo o sinal de f'(x) é o mesmo de x. Concluímos:
f'(x)<0 em (-2,0), ou seja, decresce nesse intervalo.
f'(x)>0 em (0,2), ou seja, cresce nesse intervalo.
Assim, x=0 é ponto de mínimo, com valor ;f(0)=0.

Passo 5

Com todas essas informações, o esboço fica assim:
– Domínio aberto em (-2,2).
– Valor mínimo (0,0).
– Assíntotas verticais em x=-2 e x=2.
– Ramo esquerdo decrescente de +infty em xto-2^+ até 0 em x=0.
– Ramo direito crescente de 0 em x=0 até +infty em xto2^-.
Os ramos são suaves e simétricos em relação ao eixo y.

Resposta

O gráfico de f é formado por dois ramos simétricos em torno do eixo y, com ponto de mínimo em (0,0) e assíntotas verticais em x=-2 e x=2.

Exercícios relacionados