Determine os valores de x que satisfazem a desigualdade:
|x+3|-|1-x|<0
(a) (-infty,-1),
(b) (1, infty),
(c) (3, infty),
(d) (-infty,-3),
(e) emptyset= .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
|x+3| - |1-x| < 0
ou seja, encontrar x tais que
|x+3| < |1-x|
Este é um problema de inequação envolvendo valor absoluto. A técnica consiste em identificar os pontos onde as expressões internas mudam de sinal e estudar cada região.

Passo 2

Encontramos os zeros das expressões dentro dos módulos:
x+3=0implies x=-3, 1-x=0implies x=1
Logo, particionamos a reta em três intervalos:
(-infty,-3), [-3,1), [1,infty)

Passo 3

Região x< -3.
Aqui x+3<0 e também 1-x>0. Então
|x+3|=-(x+3), |1-x|=1-x
e a desigualdade vira
-(x+3)<1-x Longrightarrow -x-3<1-x Longrightarrow -3<1,
que é sempre verdadeira.
Portanto todo x em (-infty,-3) satisfaz.

Passo 4

Região -3<= x<1.
Aqui x+3>=0 e 1-x>0. Então
|x+3|=x+3, |1-x|=1-x,
e
x+3<1-x Longrightarrow 2x< -2 Longrightarrow x< -1
Intersectando com -3<= x<1 obtemos -3<= x< -1. Note que em x=-3 a desigualdade vale estritamente, e em x=-1 dá igualdade, então fica [-3,-1).

Passo 5

Região x>=1.
Aqui x+3>=0 e 1-x<=0, então
|x+3|=x+3, |1-x|=x-1,
e
x+3< x-1 Longrightarrow 3< -1,
que é impossível. Não há solução nesta faixa.

Passo 6

União das soluções encontradas
(-infty,-3);cup;[-3,-1);=;(-infty,-1)
Assim a resposta correta é a alternativa (a).

Resposta

(a) (-infty,-1)

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