Esboce o gráfico da função
Passo 1
Na questão, vamos esboçar o gráfico de
. O conteúdo envolvido é estudo de funções: domínio, interceptos, assíntotas, derivadas para monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Para começar, encontramos o domínio de
. Como temos
no denominador, precisamos de
e o denominador não pode ser zero. Isso dá
e
. Logo, o domínio é
.
Passo 3
Encontramos o intercepto com o eixo y tomando
. Assim,
, o que dá o ponto
. Não há outro intercepto com o eixo x.
Passo 4
Verificamos as assíntotas. Em
, o numerador tende a 1 e o denominador a zero positivo, então
. Logo, há uma assíntota vertical em
. Em
, como
, temos
portanto não há assíntota horizontal.
Passo 5
Para estudar a monotonicidade, calculamos a derivada. Uma forma direta leva a
No domínio
, temos
e o denominador também é positivo, logo
. Assim,
é crescente em todo o domínio.
Passo 6
Para a concavidade, derivamos novamente e obtemos
Como
para todo
, temos
no domínio, ou seja, a curva é sempre côncava para cima.
Passo 7
Com todas essas informações, o esboço é uma curva que parte de
, cresce de forma côncava para cima, passa por
e tende a
ao se aproximar de
, com assíntota vertical em
.
Resposta
Domínio:
. Intercepto em
. Assíntota vertical em
. A função é crescente e côncava para cima. Limites:
e
.