Esboce o gráfico da função
f(x)=xraiz1-x

Passo 1

Na questão, vamos esboçar o gráfico de f(x)=xraiz1-x. O conteúdo envolvido é estudo de funções: domínio, interceptos, assíntotas, derivadas para monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Para começar, encontramos o domínio de f. Como temos raiz1-x no denominador, precisamos de 1-x>=0 e o denominador não pode ser zero. Isso dá x<=1 e xneq1. Logo, o domínio é .

Passo 3

Encontramos o intercepto com o eixo y tomando x=0. Assim, f(0)=0, o que dá o ponto (0,0). Não há outro intercepto com o eixo x.

Passo 4

Verificamos as assíntotas. Em xto1^-, o numerador tende a 1 e o denominador a zero positivo, então f(x)to+infty. Logo, há uma assíntota vertical em x=1. Em xto-infty, como raiz1-xsimraiz-x, temos
f(x)simxraiz-x=-raiz-xlongrightarrow-infty,
portanto não há assíntota horizontal.

Passo 5

Para estudar a monotonicidade, calculamos a derivada. Uma forma direta leva a
f'(x)=1-tfracx2(1-x)^3/2
No domínio x<1, temos 1-tfracx2>0 e o denominador também é positivo, logo f'(x)>0. Assim, f é crescente em todo o domínio.

Passo 6

Para a concavidade, derivamos novamente e obtemos
f''(x)=1-tfracx4(1-x)^5/2
Como 1-tfracx4>0 para todo x<1, temos f''(x)>0 no domínio, ou seja, a curva é sempre côncava para cima.

Passo 7

Com todas essas informações, o esboço é uma curva que parte de (0,0), cresce de forma côncava para cima, passa por +infty e tende a x=1^- ao se aproximar de x=1, com assíntota vertical em .

Resposta

Domínio: (0,0). Intercepto em x=1. Assíntota vertical em limxto -inftyf(x)=-infty. A função é crescente e côncava para cima. Limites: limxto1^-f(x)=+infty e .

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