Determine os valores de x que satisfazem a:
|\operatorname{sen} x|=\frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado nos pede resolver a equação |\sin x| = \frac{\sqrt{2}}{2}. Estamos lidando com uma equação trigonométrica envolvendo valor absoluto, então vamos usar o fato de que |A|=a implica A=a ou A=-a e as soluções conhecidas de \sin x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2} no círculo unitário.

Passo 2

Aplicando a definição de valor absoluto, temos equivalência:
|\sin x| = \frac{\sqrt{2}}{2}
se e somente se
\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad\text{ou}\quad \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Para \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}, os ângulos notáveis no círculo unitário são
x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad\text{e}\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,
com n\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Para \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, os ângulos correspondentes são
x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \quad\text{e}\quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,
com n\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Observando as quatro soluções num intervalo de comprimento 2\pi, notamos que elas aparecem a cada \tfrac{\pi}{2}, começando em \tfrac{\pi}{4}. Por isso podemos unificar todas as soluções na forma
x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k,
com k\in\mathbb{Z}.

Resposta

x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k,\quad k\in\mathbb{Z}.

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