Verifique se a área delimitada pela curva y=\frac{1}{x^{2} \cdot\left(x^{2}+4 x+4\right)} eo eixo dos x para x \geq 1 é finita.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a área sob a curva
y = \frac{1}{x^{2}\,(x^{2}+4x+4)}
entre x=1 e x\to\infty.
O conteúdo aqui é de integrais impróprias e teste de comparação para verificar convergência.

Passo 2

Para x\ge1 temos
x^{2}+4x+4 = (x+2)^{2} > x^{2},
logo
x^{2}\,(x^{2}+4x+4) > x^{2}\cdot x^{2} = x^{4},
e portanto
0 < y = \frac{1}{x^{2}\,(x^{2}+4x+4)} < \frac{1}{x^{4}}.

Passo 3

Sabemos que a integral
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=4, então
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4}}\,dx = \left[-\frac{1}{3x^{3}}\right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{3}\,,
que é finita.

Passo 4

Pela comparação
0 \le \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}(x^{2}+4x+4)}\,dx \;\le\; \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4}}\,dx < \infty,
logo a integral imprópria original converge.

Resposta

A área é finita.

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