A inequação exponencial 10^{x}+10^{x+1}+10^{x+2}+10^{x+3}+10^{x+4}<11111 admite infinitas soluções. Determine o conjunto-solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação exponencial
10^{x} + 10^{x+1} + 10^{x+2} + 10^{x+3} + 10^{x+4} < 11111
O conteúdo principal aqui é soma de progressão geométrica e propriedades da função exponencial. Vamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica e depois a monotonicidade de 10^x.

Passo 2

Reconhecemos que
10^{x} + 10^{x+1} + 10^{x+2} + 10^{x+3} + 10^{x+4}
é uma progressão geométrica de primeiro termo 10^x, razão 10 e 5 termos. A soma dessa P.G. é
S = 10^x \,\frac{10^5 - 1}{10 - 1} = 10^x \,\frac{100000 - 1}{9} = 10^x \cdot 11111.

Passo 3

Substituindo na inequação original, fica
10^x \cdot 11111 < 11111.
Como 11111>0, podemos dividir ambos os lados por 11111 sem inverter o sinal:
10^x < 1.
Sabendo que a função 10^x é estritamente crescente em \mathbb{R} e que 10^0 = 1, concluímos que
10^x < 10^0 \quad\Longrightarrow\quad x < 0.

Resposta

O conjunto-solução é
\displaystyle (-\infty,0).

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