Determine para quais valores de x as séries abaixo são convergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de x\in\mathbb{R} a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^x}
é convergente. Vamos usar o teste da raiz, que é bem indicado quando aparece uma potência x^n.

Passo 2

No teste da raiz, calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{x^n}{n^x}\right|} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{|x|^n}}{\sqrt[n]{n^x}} =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n^{x/n}}.
Como \lim_{n\to\infty}n^{x/n}=\exp\bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{x\ln n}{n}\bigr)=1, segue que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} =|x|.

Passo 3

Pelo teste da raiz:
  • Se |x|<1, a raiz-n é menor que 1 e a série converge absolutamente.
  • Se |x|>1, a raiz-n é maior que 1 e a série diverge.
Resta analisar os casos de fronteira |x|=1.

Passo 4

Para x=1 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^n}{n^1} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n,
que é a série harmônica, e dá divergência.
Para x=-1 temos
\frac{x^n}{n^x} =\frac{(-1)^n}{n^{-1}} =(-1)^n\,n,
cujo termo geral não tende a zero, logo diverge.

Resposta

A série converge se, e somente se,
-1<x<1.

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