Determine para quais valores de
as séries abaixo são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a série
é convergente. Vamos usar o teste da raiz, que é bem indicado quando aparece uma potência
.
Passo 2
No teste da raiz, calculamos
Como
, segue que
Passo 3
Pelo teste da raiz:
- Se
, a raiz-n é menor que 1 e a série converge absolutamente. - Se
, a raiz-n é maior que 1 e a série diverge.
Resta analisar os casos de fronteira
.
Passo 4
Para
a série fica
que é a série harmônica, e dá divergência.
Para temos
Para
cujo termo geral não tende a zero, logo diverge.
Resposta
A série converge se, e somente se,