Mostre que:
Se
e
convergem, então
também converge.
Se
Passo 1
O enunciado diz que as séries
e
convergem, isto é, os termos
e
formam séries de termos não negativos com soma finita. Queremos mostrar que também converge
.
O que vamos usar é o teste de comparação para séries de termos não negativos e uma desigualdade algébrica que relaciona com
e
.
O que vamos usar é o teste de comparação para séries de termos não negativos e uma desigualdade algébrica que relaciona
Passo 2
Começamos expandindo o termo geral:
Para tratar o termo cruzado usamos a desigualdade de que, para quaisquer reais,
Assim, desprezando sinais, fica
Passo 3
Como cada
é não negativo, podemos somar a desigualdade acima de
até
e obter
Pelo enunciado, ambos
e
são finitos, logo a soma à direita é finita.
Resposta
Como
é limitada superiormente por uma soma finita, concluímos que ela converge por comparação.