Mostre que:
Se \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} e \quad \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2} convergem, então \quad \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)^{2} também converge.

Passo 1

O enunciado diz que as séries \sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 e \sum_{n=1}^{\infty}b_n^2 convergem, isto é, os termos a_n^2 e b_n^2 formam séries de termos não negativos com soma finita. Queremos mostrar que também converge \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)^2.
O que vamos usar é o teste de comparação para séries de termos não negativos e uma desigualdade algébrica que relaciona (a_n+b_n)^2 com a_n^2 e b_n^2.

Passo 2

Começamos expandindo o termo geral:
(a_n+b_n)^2 \;=\; a_n^2 \;+\;2\,a_n b_n\;+\;b_n^2.
Para tratar o termo cruzado usamos a desigualdade de que, para quaisquer reais,
2\,|a_n b_n| \;\le\; a_n^2 + b_n^2.
Assim, desprezando sinais, fica
(a_n+b_n)^2 \;\le\; a_n^2 + (a_n^2 + b_n^2) + b_n^2 \;=\;2\,a_n^2 + 2\,b_n^2.

Passo 3

Como cada (a_n+b_n)^2 é não negativo, podemos somar a desigualdade acima de n=1 até \infty e obter
\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)^2 \;\le\; 2\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 \;+\;2\sum_{n=1}^{\infty}b_n^2.
Pelo enunciado, ambos \sum a_n^2 e \sum b_n^2 são finitos, logo a soma à direita é finita.

Resposta

Como \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)^2 é limitada superiormente por uma soma finita, concluímos que ela converge por comparação.

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