Item (a) Calcule \int 12 x \ln (x) d x
Dica: use integração por partes com uma escolha adequada para u e d v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 12\,x\ln(x)\,dx
usando integração por partes. O conteúdo aqui é a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e precisamos escolher u e dv de forma adequada.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x), \quad dv = 12\,x\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int 12\,x\,dx = 6\,x^2.

Passo 3

Aplicando integração por partes,
\int 12\,x\ln(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \ln(x)\cdot 6\,x^2 \;-\;\int 6\,x^2\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

No segundo termo,
\int 6\,x^2\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int 6\,x\,dx = 3\,x^2.
Logo a integral fica
6\,x^2\ln(x) - 3\,x^2 + C.

Resposta

\int 12\,x\ln(x)\,dx = 6\,x^2\ln(x) - 3\,x^2 + C.

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