Mostre que:
Se
e
convergem então
Se
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre a desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries reais. Temos duas séries
e
que convergem. Definimos as somas parciais
Nosso objetivo é provar que, para todo
,
e depois passar ao limite
.
Passo 2
Considere, para cada
fixo, a expressão quadrática em uma variável real
:
Como é soma de quadrados, temos
para todo
.
Passo 3
Expanda
:
Isso é um polinômio de grau 2 em
que nunca é negativo, logo seu discriminante deve ser não positivo.
Passo 4
O discriminante de
é
Como
para todo
, temos
, ou seja
Passo 5
Como
e
convergem, os limites
existem e são finitos. Além disso,
é uma sequência limitada. Tomando limite em
quando
, obtemos