Mostre que:
Se \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2} convergem então \left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}\right)^{2} \leq\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right)

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre a desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries reais. Temos duas séries \sum_{n=1}^\infty x_n^2 e \sum_{n=1}^\infty y_n^2 que convergem. Definimos as somas parciais
S_x(n)=\sum_{i=1}^n x_i^2,\quad S_y(n)=\sum_{i=1}^n y_i^2,\quad S_{xy}(n)=\sum_{i=1}^n x_i y_i.
Nosso objetivo é provar que, para todo n,
\bigl(S_{xy}(n)\bigr)^2\le S_x(n)\,S_y(n),
e depois passar ao limite n\to\infty.

Passo 2

Considere, para cada n fixo, a expressão quadrática em uma variável real t:
Q_n(t)=\sum_{i=1}^n\bigl(t\,x_i + y_i\bigr)^2.
Como é soma de quadrados, temos Q_n(t)\ge 0 para todo t.

Passo 3

Expanda Q_n(t):
Q_n(t) =\sum_{i=1}^n\bigl(t^2 x_i^2 + 2t\,x_i y_i + y_i^2\bigr) = t^2 S_x(n) + 2t\,S_{xy}(n) + S_y(n).
Isso é um polinômio de grau 2 em t que nunca é negativo, logo seu discriminante deve ser não positivo.

Passo 4

O discriminante de
t^2 S_x(n) + 2t\,S_{xy}(n) + S_y(n)
é
\Delta_n = \bigl(2\,S_{xy}(n)\bigr)^2 - 4\,S_x(n)\,S_y(n) =4\Bigl(\bigl(S_{xy}(n)\bigr)^2 - S_x(n)\,S_y(n)\Bigr).
Como Q_n(t)\ge0 para todo t, temos \Delta_n\le0, ou seja
\bigl(S_{xy}(n)\bigr)^2 \le S_x(n)\,S_y(n).

Passo 5

Como \sum_{i=1}^\infty x_i^2 e \sum_{i=1}^\infty y_i^2 convergem, os limites
\lim_{n\to\infty}S_x(n) \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}S_y(n)
existem e são finitos. Além disso, \bigl(S_{xy}(n)\bigr)^2 é uma sequência limitada. Tomando limite em
\bigl(S_{xy}(n)\bigr)^2 \le S_x(n)\,S_y(n)
quando n\to\infty, obtemos
\Bigl(\sum_{i=1}^\infty x_i y_i\Bigr)^{2} \le \Bigl(\sum_{i=1}^\infty x_i^{2}\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^\infty y_i^{2}\Bigr).

Resposta

\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty} x_{i} y_{i}\Bigr)^{2} \le \Bigl(\sum_{i=1}^{\infty} x_{i}^{2}\Bigr)\, \Bigl(\sum_{i=1}^{\infty} y_{i}^{2}\Bigr).

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