Encontre uma solução para o sistema:
& x equiv 3(bmod 7) & x equiv 8(bmod 12)

Passo 1

Temos o sistema de congruências abaixo e vamos usar o Teorema Chinês dos Resíduos (CRT) para resolvê-lo. Precisaremos representar x em função de um parâmetro e usar inversão modular.
x equiv 3 pmod7, x equiv 8 pmod12

Passo 2

Como xequiv3pmod7, escrevemos x=3+7k, onde k é um inteiro.

Passo 3

Substituindo em xequiv8pmod12 temos
$$
3+7k\equiv8\pmod{12} 3+7kequiv8pmod12
7k\equiv5\pmod{12}$$
.

Passo 4

Calculamos o inverso de 7 módulo 12. Como gcd(7,12)=1 e 7cdot7=49equiv1pmod12, o inverso de 7 é 7. Multiplicando ambos os lados por esse inverso:
$$
k\equiv7\cdot5=35\equiv11\pmod{12}$$
.

Passo 5

Logo k=11+12t, com tinZ. Substituindo em x=3+7k obtemos
x=3+7(11+12t)=80+84t
.

Passo 6

Concluímos que todas as soluções são dadas por x=80+84t, ou seja:
$$
x\equiv80\pmod{84}$$

Resposta

xequiv80pmod84

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